[論文レビュー] A note on the existence of transition probability densities for Lévy processes

Victoria Knopova, René L. Schilling|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2010

Probability and Risk Models参考文献 19被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程および等方的Lévy過程における滑らかな遷移密度関数の存在の必要十分条件を、中心的基準としてハートマン＝ウィンター条件を用いて確立する。$ t \to 0 $ および $ t \to \infty $ における密度関数の漸近的挙動を導出し、比極限定理を証明するとともに、特徴的指数が定める距離計測における球の測度と $ p_t(0) $ を関連づけ、非等方的安定およびトゥンデッド安定過程の密度関数の推定を可能にする。

ABSTRACT

We prove several necessary and sufficient conditions for the existence of (smooth) transition probability densities for Lévy processes and isotropic Lévy processes. Under some mild conditions on the characteristic exponent we calculate the asymptotic behaviour of the transition density as $t o 0$ and $t o\infty$ and show a ratio-limit theorem.

研究の動機と目的

• 一般のLévy過程において、ハートマン＝ウィンター条件が滑らかな遷移密度関数の存在に関して必要かつ十分である条件を特定すること。
• ハートマン＝ウィンター条件を等方的Lévy過程に拡張し、Lévy測度 $ \nu $ を用いて表現すること。
• 遷移密度関数 $ p_t(x) $ の $ t \to 0 $ および $ t \to \infty $ における漸近的挙動を分析し、比極限定理 $ \lim_{t\to\infty} \frac{p_t(x)}{p_t(0)} = 1 $ の成立を確認すること。
• 値 $ p_t(0) $ を特徴的指数 $ \psi $ が定める距離計測における半径 $ t^{-1/2} $ の球の測度に関連づけ、非等方的およびトゥンデッド安定過程の密度関数推定を可能にする。

提案手法

• 逆フーリエ変換を用いて遷移密度関数を $ p_t(x) = \mathcal{F}^{-1}[e^{-t\psi}](x) $ と表現し、$ e^{-t\psi} $ の可積分性と密度関数の存在を結びつける。
• リーマン＝レベーグの補題を応用し、有限次元分布の絶対連続性のためには $ \lim_{|\xi|\to\infty} \operatorname{Re}\psi(\xi) = \infty $ が必要であることを示す。
• 特徴的関数のスケーリング版 $ \chi_t(\xi) = e^{-t\psi(\xi)} / \|e^{-t\psi}\|_{L^1} $ が弱-*位相で原点にデルタ関数に収束することを用いて、比極限定理を確立する。
• 下界 $ m_\delta = \inf_{|\xi|>\delta} \operatorname{Re}\psi(\xi) > 0 $ を用いて、$ \int_{|\xi|>\delta} |\chi_t(\xi)| \, d\xi $ の評価を導出し、$ t \to \infty $ における衰減を示す。
• Lévy-Khintchine表現を用いて $ \operatorname{Re}\psi(\xi) $ を $ c^\psi_R |\xi|^2 + d^\psi_R $ で制御し、ガウス積分と比較することで $ \|e^{-t\psi}\|_{L^1} $ の推定を可能にする。
• 単調再配置技術および非等方的ソボレフ空間の推定を用いて、$ p_t(0) $ を $ \psi $-距離計測における球の体積に関連づけ、特に体積二重性条件の下で有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のLévy過程において、ハートマン＝ウィンター条件が滑らかな遷移密度関数の存在に関して必要かつ十分となる条件は何か？
• RQ2 等方的Lévy過程において、ハートマン＝ウィンター条件はLévy測度 $ \nu $ を用いてどのように再定式化できるか？
• RQ3 遷移密度関数 $ p_t(x) $ は $ t \to 0 $ および $ t \to \infty $ においてどのように漸近的に振る舞い、比極限定理が成立するか？
• RQ4 特徴的指数 $ \psi $ が定める距離計測における球の測度といった幾何的量を用いて、$ p_t(0) $ を推定できるか？

主な発見

• ハートマン＝ウィンター条件 $ \lim_{|\xi|\to\infty} \frac{\operatorname{Re}\psi(\xi)}{\ln(1+|\xi|)} = \infty $ は、すべての $ t > 0 $ に対して滑らかな遷移密度関数 $ p_t(x) \in C_b^\infty(\mathbb{R}^n) \cap C_\infty(\mathbb{R}^n) $ の存在に関して必要かつ十分である。
• 等方的Lévy過程では、ハートマン＝ウィンター条件をLévy測度 $ \nu $ を直接用いて表現でき、密度関数の存在に関するパスワイズな基準が得られる。
• 比極限定理が成立する：すべての $ x \in \mathbb{R}^n $ に対して $ \lim_{t\to\infty} \frac{p_t(x)}{p_t(0)} = 1 $ が成り立ち、これは時間が経つにつれて密度関数が漸近的に一様になることを示している。
• やや弱い正則性および体積二重性条件の下で、$ p_t(0) $ は特徴的指数 $ \psi $ が定める距離計測における半径 $ t^{-1/2} $ の球の測度の逆数に漸近的に比例する。
• 本手法により、非等方的安定およびトゥンデッド安定過程の原点における遷移密度関数の明示的推定が可能となり、先行研究における勾配バウンドを改善する。
• 比極限定理における収束は $ x $ に関して局所的に一様であり、収束速度は $ \|\chi_t\|_{L^1} $ の衰減および $ \psi(\xi) $ の無限遠における挙動を用いて推定可能である。