[論文レビュー] A note on the foundation of relativistic mechanics. I: Relativistic observables and relativistic states

Carlo Rovelli|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2001

Relativity and Gravitational Theory被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、時間や位置といった部分観測可能量の相関に基づいて「状態」と「観測可能量」を再定義することにより、相対論的力学の共変的形式を提唱する。時間として特権的な役割を果たす変数を一切認めない。相対論的位相空間（ハイゼンベルク位相空間）を導入し、状態が観測可能量間の関係を示すようにすることで、進化方程式 f(α,t;A,φ)=0 を用いて完全に共変的な力学を実現する。この形式は形式的で、量子重力における基礎的問題を解決する。

ABSTRACT

Is there a version of the notions of "state" and "observable" wide enough to apply naturally and in a covariant manner to relativistic systems? I discuss here a tentative answer.

研究の動機と目的

• 標準的な形式において時間の非共変的使用が引き起こす相対論的および量子力学における概念的困難を解消すること。
• 時間を独立変数として特権化しない、本質的に相対論的な力学の基礎を構築すること。
• 一般共変かつバックグラウンド独立な方法で状態と観測可能量を定式化することにより、量子重力のための枠組みを提供すること。
• ハミルトニアン力学が相対論的状態と部分観測可能量に基づいて表現されると、形式が簡略化され、より自然になることを示すこと。
• 一般相対性理論や場の理論に適用可能な、時間に特別な役割を持たせない共変な量子理論の土台を築くこと。

提案手法

• 『部分観測可能量』を定義する。これは測定可能な量（例：時計の目盛り t と振り子の角度 α）であり、関係的配置空間 C を形成する。
• 『運動』を、C 内の曲線として定義する。これは関係式 f(α,t;A,φ)=0 によって記述され、観測可能量間の物理的相関を表す。
• ハイゼンベルク位相空間 Γ を、このような可能な運動のすべての集合として定義する。状態変数 (A,φ) によってパラメータ化される。
• 進化方程式を f(α,t;A,φ)=0 として定式化する。各状態 (A,φ) が拡張配置空間内の特定の相関曲線を決定する。
• 量子力学への拡張として、状態を拡張配置空間上のヒルベルト空間のベクトルとして定義する。遷移振幅は、相関領域上の積分によって与えられる。
• 配置空間内の領域 R と R′ 間の確率振幅を計算するための伝播関数 W(x,y) を用い、波動関数の共変的解釈に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的理論において、『状態』と『観測可能量』の概念を明示的に共変的に再定義するにはどうすればよいか？
• RQ2 一般共変な力学系において時間の役割は何か？時間は特権的な変数として排除可能か？
• RQ3 時空の共変性と微分同相変換不変性を尊重する形で、量子力学をどのように定式化できるか？
• RQ4 ハミルトニアン力学の形式は、観測可能量間の関係的相関に基づいて表現されると、どのように簡略化され、より自然になるか？
• RQ5 バックグラウンド独立な重力の量子理論において、波動関数の物理的意味は何か？

主な発見

• 状態をハイゼンベルク位相空間 Γ の点として、(A,φ) でパラメータ化することで、非相対論的状態の概念とは異なり、ローレンツ不変かつ一般共変な代替案が得られる。
• 系の進化は、1つの式 f(α,t;A,φ)=0 で記述され、拡張配置空間 C 内の曲線を定義する。これは従来の時間発展方程式に代わる。
• 調和振動子の場合、進化方程式は明示的に α − A sin(ωt + φ) = 0 の形を取り、状態 (A,φ) が t と α 間の観測可能量の相関を決定することを示す。
• 量子力学において、領域 R′ での事前相関が与えられたもとで、領域 R で相関を観測する確率振幅は、A_R,R′ = ⟨R|R′⟩ で与えられ、式 (37) と (38) に示すように伝播関数 W(x,y) を用いて計算される。
• 解釈の仮説は、非相対論的極限において標準的なボルン則に還元され、従来の量子力学との整合性が確認される。
• この形式は、優先的な時間や空間的スライシングの必要性を排除するため、微分同相変換不変性が要求される量子重力に適している。