[論文レビュー] A note on the foundation of relativistic mechanics. II: Covariant hamiltonian general relativity

Carlo Rovelli|ArXiv.org|Feb 21, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、時空座標を形式から排除する有限次元の部分観測可能量の配置空間を用いた、一般相対性理論の明示的に4次元的で一般共変なハミルトニアン形式を提示する。この手法は、エスポジト、ジオントィ、ストルナオロの研究に基づき、シンプレクティック構造と力学が閉形式 θ に符号化された共変な位相空間を提供する。アインシュタイン方程式は配置空間上の制約として現れ、ループ量子重力におけるスピンネットワーク遷移振幅に直接的な物理的解釈を可能にする。

ABSTRACT

I illustrate a simple hamiltonian formulation of general relativity, derived from the work of Esposito, Gionti and Stornaiolo, which is manifestly 4d generally covariant and is defined over a finite dimensional space. The spacetime coordinates drop out of the formalism, reflecting the fact that they are not related to observability. The formulation can be interpreted in terms of Toller's reference system transformations, and provides a physical interpretation for the spinnetwork to spinnetwork transition amplitudes computable in principle in loop quantum gravity and in the spin foam models.

研究の動機と目的

• 時空座標や固定された時間スライスに依存しない、明示的に4次元的で一般共変な一般相対性理論のハミルトニアン形式を構築すること。
• 微分同相変換不変理論における基礎的問題を解消するため、状態と観測可能量を有限次元の配置空間上の部分観測可能量として再定義すること。
• ループ量子重力およびスピンフォームモデルにおけるスピンネットワークからスピンネットワークへの遷移振幅に、座標に依存しない共変形式を用いて直接的な物理的解釈を与えること。
• 物理的観測可能量に基づく相対的力学に根ざすことで、物質を含む重力を含む任意の微分同相変換不変理論へのハミルトニアン枠組みの一般化を図ること。

提案手法

• 形式は、時空点における場の値として扱われる部分観測可能量の拡張配置空間 C に構築され、時空座標に依存しない物理的自由度として扱われる。
• C 上にプレシンプレクティック形式 θ が定義され、これに両方のシンプレクティック構造と理論の力学が符号化され、ω = dθ が運動方程式を導く。
• 理論は接続 A と tetrad e を用いて定式化され、θ はリーマン接続記号とスピン接続を介して表現され、明示的な4次元的共変性を保証する。
• 時空座標 x^μ は、軌道上の任意のパラメータとしてのみ現れ、物理的観測可能量としては登場しない。これは、それらが直接的な物理的意味を持たないことを反映している。
• アインシュタイン方程式は、X が軌道の接ベクトルであるときの制約 ω(X) = 0 として導出され、オンシェル上では成分 K^μ_I と K^μ_IJ が消える。
• 形式はトーラーの基準系変換を通じて解釈され、物理的観測可能量と結びつき、スピンネットワーク遷移の直接的な量子的解釈を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された時間スライスに依存しない、一般相対性理論のハミルトニアン形式を、明示的に4次元的で一般共変にどのように構築できるか？
• RQ2 時空座標が観測可能でない微分同相変換不変理論において、配置空間の物理的意味は何か？
• RQ3 ループ量子重力におけるスピンネットワークからスピンネットワークへの遷移振幅を、古典的な共変枠組みの中で直接的に物理的に解釈するにはどうすればよいか？
• RQ4 無限次元の初期データ空間に代わる有限次元の部分観測可能量の空間が、通常のハミルトニアン場理論において果たす役割は何か？
• RQ5 形式から時空座標が消えることで、量子重力における観測可能量と状態の本質がどのように明確化されるか？

主な発見

• 一般相対性理論のハミルトニアン形式は、時空座標や固定された時間スライスを必要としない有限次元の配置空間 C の部分観測可能量上で達成された。
• 力学とシンプレクティック構造は、1つの閉形式 θ に符号化され、ω = dθ が配置空間上のアインシュタイン方程式としての制約を与える。
• 時空座標 x^μ は、軌道上の任意のパラメータとしてのみ現れ、理論の物理的内容に含まれない。これは、それらが直接観測可能でないことを反映している。
• アインシュタイン方程式は、X が軌道の接ベクトルであるときの ω(X) = 0 として導出され、成分 K^μ_I と K^μ_IJ がオンシェル上で消えることから、標準アインシュタイン方程式と同等であることが確認された。
• 形式は、トーラーの基準系変換を介して、ループ量子重力およびスピンフォームモデルにおけるスピンネットワーク間の遷移振幅に直接的な物理的解釈を提供する。
• 理論は明示的に共変であり、物理的観測可能量に基づく相対的力学に根ざしているため、物質を含む重力を含む任意の微分同相変換不変理論へ一般化可能である。