[論文レビュー] A note on the Fourier coefficients and partial sums of Vilenkin-Fourier series

George Tephnadze|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Oct 5, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、有界なヴィレルキン群上のヴィレルキン＝フーリエ級数に対するペイリー型およびハーディー＝リトルウッド型不等式を調査し、部分和の強い収束定理を確立する。特定のフーリエ係数を持つ関数を構成し、二進マルティンゲール技法と最大関数の推定を用いてその部分和を分析することで、ある条件下で部分和の $ L_{p,\infty} $-ノルムが発散することを証明し、この設定における古典的不等式の鋭さを示している。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate Paley type and Hardy-Littlewood type inequalities and strong convergence theorem of partial sums of Vilenkin-Fourier series.

研究の動機と目的

• 有界なヴィレルキン群上のヴィレルキン＝フーリエ級数に対するペイリー型およびハーディー＝リトルウッド型不等式を調査すること。
• マルティンゲールハーディー空間の文脈において、ヴィレルキン＝フーリエ級数の部分和の強い収束定理を確立すること。
• 特定の係数構成のもとで $ L_{p,\infty} $-ノルムの部分和の挙動を分析すること。
• 部分和の $ L_{p,\infty} $-ノルムが発散する反例を構成することで、古典的不等式の鋭さを示すこと。
• 二進マルティンゲール理論を用いて、古典的フーリエ解析の結果をヴィレルキン系の設定に拡張すること。

提案手法

• 関数 $ f $ を、$ M_k $ を一般化された階乗、$ \Phi $ を正で単調増加な関数として、$ v \in [M_{\alpha_\eta}, M_{\alpha_\eta+1}) $ に対してフーリエ係数 $ \widehat{f}(v) = \frac{1}{M} \frac{M_{\alpha_\eta}^{1/p-1}}{\Phi_{M_{\alpha_\eta}}^{1/4}} $ となるように構成する。
• ヴィレルキン系によって誘導される二進マルティンゲール構造を用い、$ S_{M_n}f $ を条件付き期待値 $ E_n f $ に対応させる。
• 各 $ j \in \mathbb{N}_{n_0} $、$ x \in G_m \setminus I_1 $ に対して部分和 $ S_j f(x) $ を、二進区間への分解とディラック核の恒等式を用いて分析する。
• 恒等式 $ D_j(x) = \psi_j \sum_{u=0}^{j-1} \psi_u $ と性質 $ D_{M_n}(x) = M_n $（$ x \in I_n $ のとき）、さもなければ 0 を適用し、点별挙動を推定する。
• $ L_{p,\infty} $-ノルムを、$ \{ x : |S_j f(x)| > \lambda \} $ の測度を上から抑えることで推定する。ここで $ |S_j f(x)| = \frac{1}{M} \frac{M_{\alpha_k}^{1/p-1}}{\Phi_{M_{\alpha_k}}^{1/4}} $ が $ G_m \setminus I_1 $ 上で成り立つことを利用する。
• $ \sum_{n: M_k \leq n \leq M_{k+1}, n \in \mathbb{N}_{n_0}} 1 \geq c M_k $ という下界を用い、$ \sum_j \frac{\|S_j f\|_{L_{p,\infty}}^p \Phi_j}{j^{2-p}} $ の和において発散級数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴィレルキン＝フーリエ級数の部分和の $ L_{p,\infty} $-ノルムはハーディー＝リトルウッド型不等式を満たすか？
• RQ2 古典的な $ L_p $-有界性が、ヴィレルキン系の弱 $ L_p $-設定へ拡張可能か？
• RQ3 ヴィレルキン＝フーリエ級数の文脈におけるペイリー型不等式の鋭さは何か？
• RQ4 部分和のヴィレルキン＝フーリエ級数が $ L_{p,\infty} $ で強く収束しないような $ L_1 $ 内の関数は存在するか？
• RQ5 フーリエ係数の成長率とヴィレルキン群の構造は、弱 $ L_p $-空間における部分和の収束にどのように影響するか？

主な発見

• 部分和 $ S_j f $ の $ L_{p,\infty} $-ノルムは、$ j \in [M_{\alpha_k}, M_{\alpha_k+1}) $ および $ x \in G_m \setminus I_1 $ に対して $ \|S_j f\|_{L_{p,\infty}} \gtrsim \frac{M_{\alpha_k}^{1/p-1}}{\Phi_{M_{\alpha_k}}^{1/4}} $ を満たす。
• $ \sum_{j=M_{\alpha_k}}^{M_{\alpha_k+1}-1} \frac{\|S_j f\|_{L_{p,\infty}}^p \Phi_j}{j^{2-p}} \gtrsim \Phi_{M_{\alpha_k}}^{3/4} \to \infty $（$ k \to \infty $ のとき）であり、発散が示された。
• この構成により、すべての $ f \in L_1 $ に対して不等式 $ \sum_j \frac{\|S_j f\|_{L_{p,\infty}}^p \Phi_j}{j^{2-p}} < \infty $ が一様に成り立つとは限らないことが示され、したがってこの設定ではハーディー＝リトルウッド型不等式は成立しない。
• マルティンゲール $ S_{M_n}f $ の最大関数 $ f^* $ は、$ \|f^*\|_{L_{p,\infty}} \gtrsim \frac{M_{\alpha_k}^{1/p-1}}{\Phi_{M_{\alpha_k}}^{1/4}} $ を満たし、弱型の成長を示している。
• この結果は、与えられた係数仮定のもとで、古典的な部分和の $ L_p $-有界性が弱 $ L_p $-設定へ拡張されないことを示している。
• 級数の発散は、既知の不等式の鋭さを確認しており、$ L_{p,\infty} $ での収束にはより強い仮定が必要であることを示している。