[論文レビュー] A note on the Hamiltonian formalism for higher-derivative theories

Krzysztof Andrzejewski, Joanna Gonera+1 more|ArXiv.org|Oct 16, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、標準的なオストログラツキの手法から正準変換を用いて特異でないラグランジアンを導入することにより、高次の微分方程式理論のための修正されたハミルトニアン形式を提示する。偶数階微分のみを含む変数の再定義と、適切に選ばれた関数Fの追加により、制約なしで直接的なルジャンドル変換が可能となり、正準変換を介してオストログラツキのハミルトニアンと同等のハミルトニアンが得られる。

ABSTRACT

An alternative version of Hamiltonian formalism for higher-derivative theories is presented. It is related to the standard Ostrogradski approach by a canonical transformation. The advantage of the approach presented is that the Lagrangian is nonsingular and the Legendre transformation is performed in a straightforward way.

研究の動機と目的

• オストログラツキ形式の高次の微分方程式理論における技術的・概念的欠陥（特にハミルトニアンの有界でない性質と制約の必要性）を是正すること。
• ラグランジアンが特異でないことを保証することにより、ラグランジュ乗数やディラックの制約付き力学を避けるハミルトニアン形式の構築。
• 新しい形式と標準的なオストログラツキの手法との間の正準変換を体系的に確立すること。
• 新しい形式がオストログラツキのものと同一の物理的力学をもたらし、明確に定義されたハミルトニアンと直接的なルジャンドル変換を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 元の座標の偶数階微分のみを独立変数として使用するため、$ q_i = q^{(2i-2)} $ と新しい変数を定義する。
• 元のラグランジアンに、新しい変数に関して2回微分可能な関数 $ F $ を加える。このとき、$ \frac{\partial L}{\partial q_{n+1}} + \frac{\partial F}{\partial \dot{q}_n} = 0 $ かつ $ \det\left[\frac{\partial^2 F}{\partial q_i \partial \dot{q}_j}\right] \neq 0 $（$ i \geq n+2 $、$ j \leq n-1 $）を満たすようにする。
• 新しいラグランジアン $ \mathcal{L} = L + \sum_{k=1}^n \left( \frac{\partial F}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial F}{\partial \dot{q}_k} q_{k+1} \right) + \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{\partial F}{\partial q_j} \dot{q}_j $ を定義し、オンシェル上で元の理論と同等になるようにする。
• 正準運動量 $ p_i = \partial \mathcal{L} / \partial \dot{q}_i $ を直接 $ \mathcal{L} $ に対してルジャンドル変換により定義する。$ F $ の非退化性条件により、これら運動量は可逆である。
• 生成関数 $ \Phi $ を用いて、オストログラツキの変数 $ \tilde{q}_k, \tilde{p}_k $ への正準変換を構成する。偶数階と奇数階微分の両ケースに対して明示的に与える。
• 得られたハミルトニアンがオストログラツキのハミルトニアンと一致することを検証し、ハミルトニアンレベルでの2形式の同等性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次の微分方程式理論に対して、制約やラグランジュ乗数を回避する特異でないラグランジアン形式を構築することは可能か？
• RQ2 オストログラツキの制約付き形式に依存せずに、高次の微分方程式理論で直接的なルジャンドル変換を実行することは可能か？
• RQ3 新しいハミルトニアン形式は、正準構造の観点から標準的なオストログラツキの手法とどのように関係しているか？
• RQ4 新しい形式は偶数階および奇数階微分のラグランジアンの両方に対して体系的に適用可能か？
• RQ5 新しい形式とオストログラツキの変数を結ぶ正準変換の明示的形は何か？

主な発見

• 提案された形式により、オンシェル上で元の高次の微分方程式ラグランジアンと同等の特異でないラグランジアン $ \mathcal{L} $ が得られ、同じ運動方程式が保証される。
• 運動量 $ p_i $ が $ F $ の非退化性条件により速度の可逆関数であるため、制約なしに直接的なルジャンドル変換が可能である。
• 得られたハミルトニアンは、生成関数 $ \Phi = \sum_{k=1}^{n+1} \tilde{p}_{2k-1} q_k + F(q_1, \tilde{q}_2, \dots, q_n, \tilde{q}_{2n}, q_{n+1}, \dots, q_{2n+1}) $ を明示的に与える正準変換により、オストログラツキのハミルトニアンと同等である。
• 例 $ L = \frac{1}{2} \dot{q}^2 - \frac{\omega^2}{2} q^2 - g q \ddot{q} $ に対して、新しいハミルトニアンは $ H = \frac{p_1 p_2}{2g q_1} - \frac{(1 + 4g q_2)}{8g^2 q_1^2} p_2^2 + \frac{\omega^2}{2} q_1^2 - g q_1 q_2^2 $ となり、正しい力学を再現する。
• オストログラツキの変数への正準変換は明示的に構成されており、$ \tilde{q}_1 = q_1 $、$ \tilde{q}_2 = -\frac{\tilde{p}_2}{2g \tilde{q}_1} $、$ \tilde{p}_1 = p_1 - \frac{p_2 \tilde{q}_2}{\tilde{q}_1} $ が成り立ち、同等性が確認される。
• 形式は奇数階微分の理論に対しても有効であり、生成関数と変換則が適切に一般化され、オストログラツキの手法と同等の性質を保つ。