[論文レビュー] A note on the independence number, domination number and related parameters of random binary search trees and random recursive trees

Michael Fuchs, Cecilia Holmgren+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ランダムなバイナリ探索木およびランダム再帰的木における独立数、支配数、クリーク被覆数について、中心極限定理を確立する。これらのモデルにおけるフレージングツリーの一般枠組みを用いて、著者らはこれらのグラフパラメータが平均の周りで漸近的に正規分布に従うフラクチュエーションを示すことを証明した。正確な極限分布は、部分木構造および関数的極限定理の確率的解析により導出された。

ABSTRACT

We identify the mean growth of the independence number of random binary search trees and random recursive trees and show normal fluctuations around their means. Similarly we also show normal limit laws for the domination number and variations of it for these two cases of random tree models. Our results are an application of a recent general theorem of Holmgren and Janson on fringe trees in these two random tree models.

研究の動機と目的

• ランダムなバイナリ探索木およびランダム再帰的木における独立数の漸近的挙動を分析すること。
• 両方のランダム木モデルにおける支配数および関連パラメータの中心極限定理を確立すること。
• 木構造の性質を活用して、これらの木モデルにおけるクリーク被覆数の極限分布に対する直接的証明を提供すること。
• 最近のフレージングツリー分布に関する結果を拡張し、ランダム木構造における主要なグラフパラメータの極限定理を導出すること。
• 独立数、支配数、クリーク被覆数といった複数のグラフパラメータの分析を、ランダム木における共通の確率的枠組みの下で統一すること。

提案手法

• ホルムグレンとジャンソンによる、ランダムなバイナリ探索木およびランダム再帰的木におけるフレージングツリーに関する一般定理を適用する。
• ランダム再帰的木の分解性質を利用：根で分割すると、ランダムサイズの独立なランダム再帰的木が得られる。
• ランダムなバイナリ探索木の再帰的構造を用いる。根における左および右の部分木のサイズは一様分布に従う。
• グラフパラメータを木構造上の加法的関数的としてモデル化し、フレージングツリー分布の収束に依存する。
• 関数的極限定理および中心極限定理を、フレージングツリーからの局所的寄与の和に適用し、漸近的正規性を導出する。
• クリーク被覆数と局所的インジケーターの和との分布的同等性を確立し、既存の極限定理の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムなバイナリ探索木およびランダム再帰的木における独立数の漸近的平均および分散は何か？
• RQ2 これらのランダム木モデルにおける独立数および支配数は、中心極限定理を満たすか？
• RQ3 ランダムなバイナリ探索木およびランダム再帰的木におけるクリーク被覆数は、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ4 支配数の極限分布は、独立数のそれと同じ枠組みを用いて導出可能か？
• RQ5 フレージングツリー分布は、ランダム木におけるグローバルなグラフパラメータの極限定理を確立する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ランダムなバイナリ探索木およびランダム再帰的木における独立数は、中心極限定理を満たし、その平均の周りで漸近的に正規分布に従うフラクチュエーションを示す。
• 両方のランダム木モデルにおける支配数およびその変種も、漸近的に正規分布に従う極限定理を示す。
• これらのランダム木におけるクリーク被覆数は、フレージングツリーからの局所的寄与の和として記述され、その極限分布は正規分布である。
• 独立数の平均的成長が特定され、頂点数に比例する線形成長であることが示された。正確な漸近定数はフレージングツリー解析から導出可能である。
• フレージングツリーの一般枠組みを用いて結果が導出された。これにより、局所的部分木構造からの極限定理がグローバルなグラフパラメータに移行可能である。
• 分析により、独立数、支配数、クリーク被覆数は、適切な中心化およびスケーリングの下で、すべて正規分布に分布収束することが確認された。