[論文レビュー] A Note on the Inversion Complexity of Boolean Functions in Boolean Formulas

Hiroki Morizumi|ArXiv.org|Nov 5, 2008

Machine Learning and Algorithms参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ブール式におけるブール関数の逆転複雑度を決定し、最小のNOTゲート数が、入力ベクトルの増加列における減少遷移の最大数 d(f) に等しいことを証明している。この結果は、帰納的分解とNOTゲートの入力シーケンスにおける状態分析を用いて、マークフの回路複雑度定理を式モデルに拡張するものである。

ABSTRACT

In this note, we consider the minimum number of NOT operators in a Boolean formula representing a Boolean function. In circuit complexity theory, the minimum number of NOT gates in a Boolean circuit computing a Boolean function $f$ is called the inversion complexity of $f$. In 1958, Markov determined the inversion complexity of every Boolean function and particularly proved that $\lceil \log_2(n+1) ceil$ NOT gates are sufficient to compute any Boolean function on $n$ variables. As far as we know, no result is known for inversion complexity in Boolean formulas, i.e., the minimum number of NOT operators in a Boolean formula representing a Boolean function. The aim of this note is showing that we can determine the inversion complexity of every Boolean function in Boolean formulas by arguments based on the study of circuit complexity.

研究の動機と目的

• ブール式（ゲートのファンアウトが1であるモデル）におけるブール関数の逆転複雑度を特定すること。
• 一般回路におけるNOTゲート複雑度に関するマークフの古典的結果を、ファンアウトを1に制限する式モデルに拡張すること。
• 先行研究が存在しなかった、式における逆転複雑度のオープンな問題を解決すること。
• 任意のブール関数を式として表現するために必要な最小NOT演算子数のタイトな境界を確立すること。

提案手法

• 入力ベクトルの増加列における減少遷移の最大数 d(f) に従って帰納法を用い、d(f) 個のNOTゲートによる上界を証明する。
• 単調性を保つためのベクトル集合 S を用いて、2つの補助関数 f₁ と f₂ を定義し、再帰的分解を可能にする。
• S 上で1、それ以外で0となる段階関数 fₜ を導入し、非単調領域を分離する。
• f₁ ∨ (f₂ ∧ ¬fₜ) を用いて式を構築し、f₁、f₂、fₜ の式に1つの追加NOTゲートを加える。
• 入力変更に伴うNOTゲートの状態遷移（上昇／下降）を分析し、NOTゲート数の下界を導出する。
• 2つの補題を適用する：1つは、関数値が1から0に低下する際、ダウン状態のNOTゲート数が少なくとも1つ増加することを示し、もう1つは、0から0または1から1への遷移では非減少的になることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のブール関数をブール式として表現するために必要な最小のNOT演算子数は何か？
• RQ2 ファンアウト制限があることを考慮すると、式における逆転複雑度は一般回路におけるものとどのように異なるか？
• RQ3 入力チェーンにおける最大減少遷移数 d(f) は、式における逆転複雑度のタイトな境界として機能できるか？
• RQ4 任意のブール関数に対して、正確に d(f) 個のNOTゲートを用いた式を構成するための構成的技法は存在するか？
• RQ5 式におけるファンアウト1制約は、回路と比較して最小NOTゲート使用構造を根本的に変えるか？

主な発見

• 任意のブール関数 f について、式における逆転複雑度は、入力ベクトルの増加列における減少遷移の最大数 d(f) に正確に等しい。
• 単調および段階的成分に f を分解する帰納的構成により、d(f) 個のNOTゲートによる上界が達成される。
• 入力遷移に伴うダウン状態のNOTゲート数の追跡により下界が証明され、関数値が1から0に低下するたびに、その数が少なくとも1つ増加することが示された。
• 構成法により、使用するNOTゲート総数が正確に d(f) に保証されるため、境界はタイトである。
• この結果は、マークフの回路的境界（⌈log₂(d(f)+1)⌉）を式モデルに一般化し、複雑度が d(f) に対して線形に増加するのに対し、回路では対数的であることを示している。
• 構造的性質（ファンアウトが1）を活用することで、状態遷移のための異なる経路が保証され、これが下界の議論に不可欠である。