[論文レビュー] A note on the isotonic vector-valued convex functions

Constantin P. Niculescu, Octav Olteanu|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Optimization and Variational Analysis参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、順序付きバナッハ空間上の連続的凸ベクトル値関数の等長性を、劣微分を用いて特徴づけている。凸関数が協和的（順序を保つ）であるための必要十分条件として、各点におけるその劣微分が正の作用素であることを示しており、無限次元の順序付き空間における等長性の変分的基準を提供している。この結果は、チョケット積分や部分線形作用素への応用を含む。

ABSTRACT

The property of isotonicity of a continuous convex function defined on the entire space or only on the positive cone is characterized via subdifferentials. Numerous examples illustrating the obtained results are included.

研究の動機と目的

• 順序付きバナッハ空間値をとる連続的凸関数の等長性を特徴づけること。
• 劣微分を用いた等長性の変分的基準を確立すること。
• スカラー関数からベクトル値凸関数への結果の拡張を、順序付き位相線形空間において行うこと。
• 具体例と応用（チョケット積分や部分線形作用素を含む）を提示すること。
• 無限次元設定における順序構造、凸性、連続性の関係を明確にすること。

提案手法

• 順序付きバナッハ空間における等長性の分析に、凸関数の劣微分を主たる道具として用いる。
• バナッハ＝シュタインハウスの定理を用いて、正の線形作用素の連続性を適用する。
• ハーン＝バナッハの分離定理を用い、双対錐の要素を介して順序関係を特徴づける。
• ノルムが順序錐と整合する「定期的順序付きバナッハ空間」の構造を活用する。
• 連続関数上の関数的としてのチョケット積分が、連続的かつ部分線形的・等長的であることを分析する。
• 複数の部分加法的容量を用いて、スカラー結果を R^n 値設定に一般化するベクトル値作用素を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付きバナッハ空間間の連続的凸関数が等長的（順序を保つ）であるための条件は何か？
• RQ2 関数の劣微分を用いて、その等長性をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 正の線形作用素と劣微分は、無限次元空間における等長性の決定にどのような役割を果たすか？
• RQ4 チョケット積分は、ベクトル値凸関数の文脈において、部分線形的・等長的関数的とどのように関係するか？
• RQ5 部分加法的容量の上限最小性は、正で、正則的かつ σ-加法的なベクトル測度によって確立可能か？

主な発見

• 順序付きバナッハ空間間の連続的凸関数 Φ が等長的であるための必要十分条件は、各点におけるその劣微分がすべて正の線形作用素からなることである。
• 任意の順序付きバナッハ空間間の正の線形作用素は、バナッハ＝シュタインハウスの定理と数列の議論により、必然的に連続的である。
• 順序付きバナッハ空間の双対空間は、双対錐を備えると、自身が定期的順序付きバナッハ空間である。
• チョケット積分は C(X) 上で連続的かつ部分線形的・等長的関数的であり、複数の容量を用いて自然にベクトル値設定へ拡張可能である。
• 任意の非ゼロの連続関数 h に対して、ベクトル値チョケット作用素 P に支配され、T(h) = P(h) を満たす正の線形作用素 T が存在する。
• 任意の部分加法的容量 μ: B(K) → R^n は、μ に支配され、正で、正則的かつ σ-加法的なベクトル測度の上限最小である。