[論文レビュー] A note on the Liouville function in short intervals

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、任意の $\delta > 0$ に対して長さ $X^\delta$ の短い区間におけるリウヴィル関数のキャンセレーションを、簡潔で自己完結的な証明により示している。具体的には、ほとんどすべての $x \in [X, 2X]$ に対して、和 $\sum_{x \leq n \leq x + X^\delta} \lambda(n) = o(X^\delta)$ が成り立つことを示している。証明はラマレ型の恒等式とディリクレ多項式の平均平方推定に依拠しており、以前の研究で用いられた複雑な分解を避けており、解析的整数論の高度な道具を用いない。

ABSTRACT

In this note we give a short and self-contained proof that, for any $δ> 0$, $\sum_{x \leq n \leq x+x^δ} λ(n) = o(x^δ)$ for almost all $x \in [X, 2X]$. We also sketch a proof of a generalization of such a result to general real-valued multiplicative functions. Both results are special cases of results in our more involved and lengthy recent pre-print.

研究の動機と目的

• 長さ $X^\delta$ の短い区間におけるリウヴィル関数のキャンセレーションを、洗練され、自己完結的な証明で示すこと。
• 重い解析的整数論の道具を用いずに、ほとんどすべての $x \in [X, 2X]$ に対して $\sum_{x \leq n \leq x + X^\delta} \lambda(n) = o(X^\delta)$ が成り立つことを示すこと。
• 一般の実数値乗法的関数へ拡張可能な基礎的結果を確立すること。
• 以前のプレプリントで得られたより複雑な結果の特殊ケースであるリウヴィル関数の場合に、簡略化されたバージョンを提供すること。

提案手法

• 短い区間におけるリウヴィル関数の和を分解するためにラマレ型恒等式の使用。
• 形 $\sum_{n \sim X} \lambda(n)/n^{1+it}$ のディリクレ多項式の平均平方推定を用いて、短い和の $L^2$-ノルムを推定。
• 素数定理と部分積分を用いて、$|t| \leq (\log X)^A$ の範囲でディリクレ多項式を評価。
• ペロンの公式とヴィノグラドフの零点自由領域を用いて、 dyadic 区間における素数の和を制御。
• 素数和 $\sum_{P \leq p \leq Q} \lambda(p) p^{-1-it}$ の大きさに基づいて、$t$ に関する積分を主要領域と微小領域に分割。
• チェビシェフの不等式を適用し、キャンセレーションに失敗する $x$ の例外的集合の密度が $o(1)$ であることを導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リウヴィル関数の長さ $X^\delta$ の短い区間におけるキャンセレーションを、以前の手法よりも単純な方法で証明できるか？
• RQ2 ほとんどすべての $x \in [X, 2X]$ に対して $\sum_{x \leq n \leq x + X^\delta} \lambda(n) = o(X^\delta)$ を示すために、最小限どの程度の解析的整数論が必要か？
• RQ3 リウヴィル関数に用いた手法を、任意の実数値乗法的関数へどの程度まで一般化できるか？
• RQ4 ラマレ恒等式の使用が、乗法的関数の短い和の解析をどのように簡素化するか？

主な発見

• 正規化された短い和の $L^2$-ノルムは、$\int_X^{2X} \left| \frac{1}{X^\delta} \sum_{x \leq n \leq x + X^\delta} \lambda(n) \right|^2 dx \ll_{\varepsilon} \frac{X}{(\log X)^{1/3 - \varepsilon}}$ を満たす。
• チェビシェフの不等式により、$\left| \sum_{x \leq n \leq x + X^\delta} \lambda(n) \right| \geq X^\delta / (\log X)^{1/9}$ を満たす $x \in [X, 2X]$ の例外的集合の測度は $o(X)$ である。これは、ほとんどすべての $x$ に対して結果が成り立つことを示唆する。
• ディリクレ多項式 $\sum_{n \sim X} \lambda(n)/n^{1+it}$ を素数寄与の dyadic 区間ごとに分解する必要がなく、証明が簡素化されている。
• 結果は一般の乗法的関数 $f: \mathbb{N} \to [-1,1]$ に拡張可能であり、短い和は $L^2$-ノルムにおいて、全体平均 $\frac{1}{X} \sum_{X \leq n \leq 2X} f(n)$ に $o(1)$ の誤差で収束する。
• 一般の場合の誤差項は、局所平均と全体平均の差の $L^2$-ノルムにおいて、$O\left( \frac{1}{(\log X)^{1/48}} \right)$ で抑えられる。
• 証明技法は、著者らの以前の研究における道具（例えば、ディリクレ多項式の大きな値推定）と組み合わせることで、$[-1,1]$ に値をとる任意の乗法的関数に対しても頑健に扱える。