[論文レビュー] A note on The maximal operators of the Nörlund logaritmic means of Vilenkin-Fourier series

George Tephnadze, G. Tutberidze|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ 0 < p < 1 $ の範囲で、Vilenkin-Fourier級数のNörlund対数平均に関連する最大作用素の、martingale Hardy空間 $ H_p(G_m) $ における有界性を検討する。$ \widetilde{L}_p^*f := \sup_n |L_n f| / \Theta(n+1) $ が $ H_p $ から $ L_p $ に有界であるための必要十分条件として、$ \Theta(n) \sim n^{1/p - 1} / \log n $ が得られ、その有界性の程度が最良であることが示されている。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate $\left(H_{p},L_{p} ight)$- type inequalities for the the maximal operators of Nörlund logaritmic means, for $0

研究の動機と目的

• Nörlund対数平均の最大作用素に関する $ (H_p, L_p) $ 型の鋭い不等式を確立すること。
• 最大作用素 $ \widetilde{L}_p^*f := \sup_n |L_n f| / \Theta(n+1) $ が $ H_p(G_m) $ から $ L_p(G_m) $ に有界であるような重み関数 $ \Theta(n) $ の最良の成長率を特定すること。
• 率 $ \Theta(n) \sim n^{1/p-1}/\log n $ の鋭さを証明し、より遅く成長する任意の $ \varphi(n) $ が有界性を破ることを示すこと。
• 既知の部分和作用素に関する結果を、$ 0 < p < 1 $ の臨界範囲においてNörlund対数平均に拡張すること。

提案手法

• Vilenkin-Fourier級数の $ n $ 番目のNörlund対数平均を表す $ L_n f $ を用いて、最大作用素 $ \widetilde{L}_p^*f := \sup_n |L_n f| / \Theta(n+1) $ を定式化する。
• 既知の部分和作用素の最大作用素 $ \widetilde{S}_p^*f := \sup_n |S_n f| / (n+1)^{1/p - 1} $ に対する鋭い有界性評価を適用する。
• 点ごとの支配関係 $ |L_n f| / (n+1)^{1/p - 1} \leq \sup_k |S_k f| / (k+1)^{1/p - 1} $ を確立し、部分和の有界性を対数平均に移すことを可能にする。
• 一様に有界な $ H_p $-ノルムを持つ特定のmartingale $ f_{n_k} = D_{M_{2n_k+1}} - D_{M_{2n_k}} $ を構成し、重み関数の鋭さをテストする。
• 測度論的推定を用いて、$ \mu\{ |L_{M_{2n_k}+2} f_{n_k}| \geq 1 / (l_{M_{2n_k}+2} \varphi(M_{2n_k+2})) \} = 1 $ を示し、$ \varphi(n) $ が $ \Theta(n) $ より遅く成長する場合には発散が生じることを示す。
• 上記の推定を組み合わせ、$ \Theta(n)/\varphi(n) \to \infty $ ならば $ \| \widetilde{L}_p^* f \|_p \to \infty $ が成り立つことを証明し、鋭さを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 0 < p < 1 $ の範囲で、最大作用素 $ \widetilde{L}_p^*f := \sup_n |L_n f| / \Theta(n+1) $ が $ H_p(G_m) $ から $ L_p(G_m) $ に有界であるような重み関数 $ \Theta(n) $ の最良の成長率は何か？
• RQ2 率 $ \Theta(n) \sim n^{1/p - 1} / \log n $ は、任意のより遅く成長する $ \varphi(n) $ が有界性を破ることを示唆する意味で鋭いか？
• RQ3 martingale Hardy空間の枠組みにおいて、対数因子の鋭さを構成的反例によって証明できるか？
• RQ4 Nörlund対数平均の性質と部分和の性質は、$ 0 < p < 1 $ の範囲で $ (H_p, L_p) $ 有界性においてどのように比較できるか？
• RQ5 重み関数 $ \Theta(n) $ の成長と $ H_p \to L_p $ 框組みにおける最大作用素のノルムの関係は何か？

主な発見

• 最大作用素 $ \widetilde{L}_p^*f := \sup_n |L_n f| / (n+1)^{1/p - 1} $ は、$ 0 < p < 1 $ の範囲で $ H_p(G_m) $ から $ L_p(G_m) $ に有界であり、部分和に関する既知の結果を拡張する。
• 率 $ \Theta(n) \sim n^{1/p - 1} / \log n $ は鋭い：$ \varphi(n) $ が $ \Theta(n) $ より遅く成長するならば、$ \sup_n |L_n f| / \varphi(n+1) $ は $ H_p(G_m) $ 上で有界ではない。
• 一様に有界な $ H_p $-ノルムを持つ反例martingale $ f_{n_k} = D_{M_{2n_k+1}} - D_{M_{2n_k}} $ に対して、$ \varphi(n) \ll \Theta(n) $ のとき $ \| \widetilde{L}_p^* f_{n_k} \|_p \to \infty $ が成り立つ。
• 鋭さは、$ \Theta(n)/\varphi(n) \to \infty $ の条件下で $ \| \widetilde{L}_p^* f_{n_k} \|_p / \|f_{n_k}\|_{H_p} \to \infty $ であることを示すことによって証明される。
• 本稿では、ある絶対定数 $ C_1, C_2 $ に対して $ C_1 n^{1/p - 1} / \log n \leq \Theta(n) \leq C_2 n^{1/p - 1} $ が成り立つことを証明し、正確な漸近的順序が確認された。
• 結果は、対数因子が本質的であり、有界性を保つために除去またはより遅く成長する関数に置き換えることはできないことを確認している。