[論文レビュー] A note on the maximum of the Riemann zeta function, and log-correlated random variables

Adam J. Harper|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、臨界線におけるリーマン・ゼータ関数の最大値を研究するためのランダム・オイラー積モデルを提案する。このモデルでは、対数相関が生じることにより、ガウス確率変数の上界に関する厳密な解析が可能になる。主な結果として、Fyodorov と Keating による予想が裏付けられ、$\max_{T \leq t \leq T+2\pi} |\zeta(1/2+it)|$ の典型的なサイズが、リーマン予想のもとで $\exp(\log\log T - \frac{3}{4}\log\log\log T + O_\epsilon(1))$ であることが示された。

ABSTRACT

In recent work, Fyodorov and Keating conjectured the maximum size of $|ζ(1/2+it)|$ in a typical interval of length O(1) on the critical line. They did this by modelling the zeta function by the characteristic polynomial of a random matrix; relating the random matrix problem to another problem from statistical mechanics; and applying a heuristic analysis of that problem. In this note we recover a conjecture like that of Fyodorov and Keating, but using a different model for $|ζ(1/2+it)|$ in terms of a random Euler product. In this case the probabilistic model reduces to studying the supremum of Gaussian random variables with logarithmic correlations, and can be analysed rigorously.

研究の動機と目的

• 長さ $2\pi$ の短い区間における $|\zeta(1/2+it)|$ の最大値を、確率論的モデルとして厳密に扱うことを目的とする。
• 先行研究で用いられたランダム行列モデルに代えて、ランダム・オイラー積を用いて $\log|\zeta(1/2+it)|$ の挙動を分析することを目的とする。
• 短い区間におけるゼータ関数の最大値が、ランダム行列理論から導かれたとされる漸近的成長率と一致することを示すこと。
• ゼータ関数の極値と、対数相関を持つガウス過程の上界との間の関係を確立すること。
• Fyodorov–Keating 予想を、ヒューリスティックな統計力学的議論に依存せずに支持する、解析的に取り扱いやすい新しいモデルを提供すること。

提案手法

• Soundararajan の $\log|\zeta(1/2+it)|$ に対する上界を、切り捨てられたオイラー積を用いた決定的近似に応用する。
• $p \leq T$ における素数 $p$ の和として $\log|\zeta(1/2+it)|$ を $\Re(\frac{1}{p^{1/2+it}} \frac{\log(T/p)}{\log T})$ とモデル化し、$p^{it}$ を単位円上の一様な独立確率変数とみなす。
• 得られた確率過程を、対数的共分散構造を持つ複素ガウス確率変数の和として分析する。
• スティンの正規近似法を用いて、対数相関を持つガウス場による確率過程の上界の近似誤差を制御する。
• 確率過程 $Y_h$ の最大値の尾部挙動を制御するために、ガウスベクトル $Z$ を用いた三段階のカップリング論法を用いる。
• 多次元のスティン評価を適用し、三次微分と増分の分散に依存する明示的な依存関係を用いて、分布収束の速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短い区間における $|\zeta(1/2+it)|$ の最大値に関する Fyodorov–Keating 予想を、ランダム・オイラー積モデルを用いて厳密に支持できるか？
• RQ2 ランダム・オイラー積モデルは、ゼータ関数の極値を捉える点で、ランダム行列モデルとどのように比較できるか？
• RQ3 リーマン予想のもとで、$\max_{T \leq t \leq T+2\pi} |\zeta(1/2+it)|$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 対数相関を持つガウス過程の上界を用いて、短い区間におけるゼータ関数の最大値をモデル化し、上限を評価できるか？
• RQ5 予想された成長率における $O_\epsilon(1)$ の誤差項の役割は何か？また、$\epsilon$ に依存する仕組みはどのようなものか？

主な発見

• ランダム・オイラー積モデルにより、長さ $2\pi$ の区間における $|\zeta(1/2+it)|$ の最大値の厳密な解析が可能となり、Fyodorov–Keating 予想が $O_\epsilon(1)$ の誤差項まで裏付けられた。
• モデルは、$\log|\zeta(1/2+it)|$ が $p \leq T$ に対して $\Re(\frac{1}{p^{1/2+it}} \frac{\log(T/p)}{\log T})$ の和でよく近似できることを示し、測度が $0.01\pi$ 未満の集合を除いて成り立つ。
• すべての $T$ が大きな区間にある場合、短い区間におけるゼータ関数の最大値は、$\exp(\log\log T - \frac{3}{4}\log\log\log T + O_\epsilon(1))$ として漸近的に成り立ち、測度 $\epsilon T$ 未満の集合を除いて成り立つ。
• モデルの確率的構造は、対数相関を持つガウス過程の上界の研究に還元され、スティンの方法を用いて厳密に解析可能である。
• 最大値の正規近似誤差は、三次微分と分散項に明示的な依存関係を持つ多次元スティン評価を用いて、有界に保たれる。
• 解析により、ランダム・オイラー積モデルがランダム行列モデルと同一の漸近的挙動を示すことが確認され、予想に対する独立的な支援が得られた。