[論文レビュー] A note on the notion "statistical symmetry"

Michael Frewer, George Khujadze+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Protein Structure and Dynamics参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、乱流理論において最近提唱された「統計的対称性」の概念を批判し、このような対称性は微細なスケールで決定論的要因に起因しなければならず、具体的には、揺動する場の非不変変換が原因でなければならないと主張する。そうでなければ因果律に反する。著者らは、ワツァーツィェクら（2014）が提唱した新しい統計的対称性が、いかなるこのような基礎的変換からも導けないことを示し、物理的に不適切で、直接数値シミュレーション（DNS）データとも整合しないことを示している。

ABSTRACT

A critical review is presented on the most recent attempt to generally explain the notion of "statistical symmetry". This particular explanation, however, is incomplete and misses one important and essential aspect. The aim of this short note is to provide this missing information and to clarify this notion on the basis of a few instructive examples.

研究の動機と目的

• 最近の『統計的対称性』の説明における重大な欠落、すなわち決定論的レベルからの因果的メカニズムの欠如を特定・是正すること。
• 統計的対称性は根本的ではなく、基礎となる揺動場に作用する能動的で不変でない変換から生じることを明確にすること。
• ワツァーツィェクら（2014）が提唱した新しい統計的対称性が、対応する微細なスケールの変換が存在しないため、因果律に反することを示すこと。
• これらの物理的に不適切な対称性が、2次相関関数を超える段階でDNSデータと一致しない誤ったスケーリング則を導くこと。
• このような対称性が、乱流理論における物理的整合性を保つために破棄されなければならないことを主張すること。

提案手法

• すべての統計的対称性が基礎となる場の変換に起因しなければならないという原則に基づき、微細な決定論的変換と粗粒度の統計的対称性との因果関係を分析する。
• 逆問題の手法を適用：与えられた統計的対称性に対して、その瞬間的（揺動する）場における対応する変数変換が存在するかを同定する。
• 空間時間座標変換、乱流における時間シフト、ウェーブレットスケーリングなど、統計物理学および流体力学の例を用いて、非不変変更からどのように対称性が生じるかを説明する。
• 解析的に示す：ワツァーツィェクら（2014）の新しい統計的スケーリングおよび平行移動対称性に関して、すべての相関関数に一様にグローバル要因をかけるという性質上、このような基礎的変換が存在できないことを証明する。
• これらの対称性から導かれるスケーリング則の予測を、DNSデータ（シメンスら、2009；ボレルなど、2013）と比較し、顕著な不一致を示す。
• フリーウェル・エイチ・アール（2014a）の付録Aで背理法を用い、提案されたスケーリング対称性が速度場のいかなる変数変換からも誘導されえないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最近の『統計的対称性』の定義における欠落している因果的メカニズムは何か？
• RQ2 基礎となる決定論的（揺動する）レベルに対応する変換が存在しない場合、統計的対称性は生じ得るか？
• RQ3 なぜワツァーツィェクら（2014）が提唱した新しい統計的対称性は物理的に整合しないのか？
• RQ4 因果律の違反は、多点相関関数方程式および確率密度関数（PDF）の文脈でどのように現れるのか？
• RQ5 これらの対称性から導かれるスケーリング則は、直接数値シミュレーション（DNS）データとどの程度一致するのか？

主な発見

• 統計的対称性は、微細なスケールで非不変変換から生じなければならない。そのような原因がなければ、因果律に反する。
• ワツァーツィェクら（2014）が提唱した統計的スケーリング対称性は、瞬間的速度場のいかなる変換からも誘導されない。なぜなら、すべての相関関数をグローバル要因で一様にスケーリングするからである。
• 同様に、提案された統計的平行移動対称性についても、すべての多点確率密度関数（PDF）を一定値分一様にシフトするが、このような変換はいかなる基礎的変数変更からも生じえない。
• これらの物理的に不適切な対称性は、2次相関関数を超える段階でDNSデータを再現できないスケーリング則を導き、すべての高次モーメントで誤差が持続する。
• 物理的に不適切な群パラメータをスケーリング則から取り除くと、DNSデータとの一致が数個のオーダーも向上し、提案された対称性の物理的に不適切な性質を確認する。
• 著者らは結論として、新しい統計的対称性は、乱流理論における誤った理論的予測と整合性の欠如を引き起こすため、破棄されなければならないと主張する。