[論文レビュー] A Note on the p->q norms of Completely Positive Maps

Koenraad M. R. Audenaert|arXiv (Cornell University)|May 31, 2005

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、自己随伴作用素上で定義された完全正の写像 Φ の p→q ノルムが、一般の作用素上でも同じであることを示す別証明を提供する。任意の作用素をより大きな空間上の自己随伴作用素に埋め込むための二重化構成を用いて、Φ(A) のシュタインノルムが Φ が |A| に作用するノルムによって上から抑えられることを示し、主要な結果に至る：||Φ||_p→q は、自己随伴作用素に制限せず一般の作用素にまで拡張しても変化しない。

ABSTRACT

King and Ruskai asked whether the $p o q$ norm of a completely positive map $\Phi$, acting between Schatten $p$ and $q$ classes of self-adjoint operators, $||\Phi||_{p o q} = \max_{A=A^*} \frac{||\Phi(A)||_q}{||A||_p}$, is equal to the $p o q$ norm of that map when acting between Schatten classes of general, not necessarily self-adjoint, operators. The first proof has been given by Watrous. We give an alternative proof of this statement.

研究の動機と目的

• 自己随伴制約を除去した場合の完全正の写像の p→q ノルムの不変性について、Watrous の結果に対する別証明を提供すること。
• 完全正の写像 Φ の p→q ノルムが、自己随伴作用素または一般作用素の両方で最大化しても等しいことを確立すること。
• 量子チャネルの最大出力純度がシュタイン q-ノルムで測定される場合、それが自己随伴入力での 1→q ノルムによって完全に記述されることを示すこと。
• 量子情報におけるシュタイン p→q ノルムの取り扱いを統一し、一般化のための最大化領域を自明に拡張できることを示すこと。

提案手法

• ヒルベルト空間 H 上の任意の作用素 A を、二重化空間 H⊕H 上の自己随伴作用素 Q = [0 A; A* 0] に埋め込む。
• AA* と A*A のユニタリ同値性を用いて、|Q| を |A| と U|A|U* を含むブロック対角作用素として表現する。
• 写像 Φ を Φ⊗1_{C²} に拡張し、完全正性とノルム構造を保つ。
• (Φ⊗1_{C²})(Q) のシュタイン q-ノルムを計算し、Tr|Φ(A)|^q と関係づけ、それが 2Tr|Φ(A)|^q に等しいことを示す。
• 完全正の写像 Ω と自己随伴 X に対して既知の不等式 ||Ω(X)||_q ≤ ||Ω(|X|)||_q を、作用素 Q に適用する。
• ノルムの斉次性と TrΦ(U|A|U*)^q および TrΦ(|A|)^q の上界を用いて、重要な不等式 2Tr|Φ(A)|^q ≤ 2||Φ||_p→q^q を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全正の写像 Φ の p→q ノルムは、自己随伴作用素に限らず、すべての作用素に対して同様に定義可能か？
• RQ2 量子チャネルの最大出力純度がシュタイン q-ノルムで測定される場合、それが入力が自己随伴であるかどうかに依存するか？
• RQ3 シュタイン p→q 框組みにおいて、完全正の写像のノルムは、自己随伴作用素から一般作用素に拡張しても不変か？
• RQ4 Watrous の証明の全構造に依存せずに、自己随伴性の除去による p→q ノルムの不変性を証明できるか？

主な発見

• 完全正の写像 Φ の p→q ノルムは、自己随伴作用素から一般作用素に拡張しても不変である。
• ||A||_p = 1 を満たす任意の作用素 A に対して、不等式 2Tr|Φ(A)|^q ≤ 2||Φ||_p→q^q が成り立ち、||Φ(A)||_q / ||A||_p ≤ ||Φ||_p→q を示唆する。
• max_A ||Φ(A)||_q / ||A||_p = ||Φ||_p→q が確立され、自己随伴入力がノルムの計算に十分であることが示された。
• 二重化構成 Q = [0 A; A* 0] は、一般作用素をより大きな空間上の自己随伴作用素に成功裏に埋め込み、ノルム関係を保存する。
• 証明により、最大出力純度 ν_p(Φ) = max_{A>0, Tr(A)=1} ||Φ(A)||_q が、自己随伴入力における Φ の 1→q ノルムと等しいことが確認された。
• この結果はすべての p, q ≥ 1 およびすべての完全正の写像に対して成り立ち、King や Ruskai の以前の部分的結果を一般化する。