[論文レビュー] A note on the relation between a singular linear discrete time system and a singular linear system of fractional nabla difference equations

Charalambos P. Kontzalis, Grigoris I. Kalogeropoulos|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、行列ペンシル理論を用いて、特異な線形離散時間系と特異な分数階ナブラ差分方程式系の間の数学的ブリッジを確立する。連続時間特異系を一定間隔でサンプリングし、ゼロ次ホールド近似を適用することで、連続解と分数階ナブラ差分系を結ぶ離散時間状態方程式を導出する。正則ペンシル条件のもとで解の存在および一意性を証明する。

ABSTRACT

In this article we focus our attention on the relation between a singular linear discrete time system and a singular linear system of fractional nabla difference equations whose coefficients are square constant matrices. By using matrix pencil theory, first we give necessary and sufficient condition to obtain a unique solution for the continuous time model. After by assuming that the input vector changes only at equally space sampling instants, we shall derive the corresponding discrete time state equation which yield the values of the solutions of the continuous time model which will connect the initial system to the singular linear system of fractional nabla difference equations.

研究の動機と目的

• 特異な線形離散時間系と特異な分数階ナブラ差分方程式の間の厳密な数学的関係を確立すること。
• 特異係数行列を有する行列微分方程式に従う連続時間特異系を分析すること。
• サンプリングとゼロ次ホールド近似を用いて連続モデルから離散時間状態方程式を導出すること。
• 行列ペンシル理論とワイエルシュトラス標準形を用いて解の存在および一意性を保証すること。
• 離散サンプリングおよび近似技法を用いて連続系の解を分数階ナブラ差分系に結びつけること。

提案手法

• 行列ペンシル理論を用いてペンシル $ sF - G $ の正則性を分析し、有限および無限の基本因子に分解する。
• 複素ワイエルシュトラス標準形を適用して、有限固有値および無限固有値に対応する独立したジョルダンおよび冪零ブロックにシステムを分解する。
• 有限固有値に対しては $ F(t,s) = Q_p e^{J_p(t-s)} $ の遷移行列を用い、無限固有値に対しては $ Q_q $ を用いて連続系の基本解行列 $ F(t,s) $ を導出する。
• ゼロ次ホールドサンプリングを実装し、入力 $ V(t) $ を区間 $ [kT, (k+1)T) $ で区分定数としてモデル化することで、離散時間近似を可能にする。
• 連続解を離散時間状態方程式 $ Y_{k+1} = F(T,0)Y_k + U_k $ に変換する。ここで $ U_k $ は積分項および微分に類似した項を含み、有限差分で近似される。
• 入力の高階微分を有限差分近似で置き換え、$ V^{(i)}(t) $ を $ V_{k-i+j} $ を含む離散和で置き換えることで、離散的実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異な線形連続時間系が行列微分方程式で記述される場合、どのような条件下で一意な解が存在するか？
• RQ2 連続時間特異系をどのようにサンプリングすることで、解の構造を保存し、分数階ナブラ差分系に接続できるか？
• RQ3 連続時間特異系の解と特異な分数階ナブラ差分方程式との間の明確な数学的関係は何か？
• RQ4 行列ペンシル $ sF - G $ の有限および無限固有値が、離散時間系の構造および可解性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 連続系のサンプリング値を正確に表現する離散時間状態方程式を導出できるか。ただし、分数階動的特性を保持するものとするか？

主な発見

• 連続時間特異系に一意な解が存在するのは、行列ペンシル $ sF - G $ が正則である場合に限る。ワイエルシュトラス標準形によりこれを確認した。
• 連続系の解は、有限固有値（指数的減衰または増大）および無限固有値（多項式的）に関連する成分に分解され、冪零行列によって支配される。
• 離散時間状態方程式 $ Y_{k+1} = F(T,0)Y_k + U_k $ は、間隔 $ T $ で連続解をサンプリングすることで導出され、$ U_k $ には積分項および微分に類似した項が含まれる。
• 入力の微分項 $ V^{(i)}(t) $ は有限差分近似により、$ V_{k-i+j} $ を含む表現に置き換えられ、離散的実装が可能になる。
• 得られた離散系は、連続解と分数階ナブラ差分方程式を結びつける。離散状態の進化は遷移行列 $ F(T,0) $ および $ H_q $ と入力微分を含む補正項によって支配される。
• 導出により、離散系が連続系のサンプリングされたダイナミクスを正確に捉え、分数階性が解の構造および微分の近似を通じて顕在することが確認された。