[論文レビュー] A note on the restricted universal enveloping algebra of a restricted Lie-Rinehart Algebra

Peter Schauenburg|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素数の特異的特徴を持つ状況下における、制限付きリーライネルト代数の普遍包あらわし代数のポアンカレ＝バーキンホフ＝ワイルド（PBW）定理の別証明を提供する。リーナルトのPBW定理とジャコブソンの制限付きリーリー代数に対する手法を応用し、基礎となるリーライネルト代数が射影的である場合に、制限付き普遍包あらわし代数が有限生成射影的であることを保証する、洗練された基底を構成する。主な貢献は、リュミニの以前の研究における潜在的な欠落を埋めるために、制限付きリーライネルト代数の局所化をきめ細かく取り扱ったことである。

ABSTRACT

Lie-Rinehart algebras, also known as Lie algebroids, give rise to Hopf algebroids by a universal enveloping algebra construction, much as the universal enveloping algebra of an ordinary Lie algebra gives a Hopf algebra, of infinite dimension. In finite characteristic, the universal enveloping algebra of a restricted Lie algebra admits a quotient Hopf algebra which is finite-dimensional if the Lie algebra is. Rumynin has shown that suitably defined restricted Lie algebroids allow to define restricted universal enveloping algebras that are finitely generated projective if the Lie algebroid is. This note presents an alternative proof and possibly fills a gap that might, however, only be a gap in the author's understanding.

研究の動機と目的

• 制限付きリーライネルト代数の普遍包あらわし代数のPBW定理に対して、より自立的で洗練された別証明を提供すること。
• リュミニの以前の研究における、制限付きリーライネルト代数の素イデアルにおける局所化に関する潜在的な欠落を解消すること。
• 基礎となるリーライネルト代数が底環上で射影的である場合に、制限付き普遍包あらわし代数が有限生成射影的であることを確立すること。
• 制限付きリーライネルト代数上の $p$-乗法演算が、局所化と整合的に拡張され、局所化された構造が依然として制限付きリーライネルト代数の性質を保つことを確認すること。

提案手法

• 制限付きリーリー代数に対するジャコブソンの技法を応用し、制限付きリーライネルト代数の普遍包あらわし代数に対して「より良い」PBW基底を構成する。
• 新しい基底の構成の土台として、リーナルトの元々のリーライネルト代数のPBW定理を用いる。
• 局所化された加群 $R_{\frak{p}} \otimes_R L$ 上での $p$-乗法演算を、公式 $(s^{-1}x)^{[p]} = s^{-p-1}(s x^{[p]} - x^{p-1}(s)x)$ を用いて定義し、制限構造を拡張する。
• 普遍包あらわし代数を計算的道具として用い、同値関係の下での一貫性を検証することで、局所化における $p$-乗法演算の定義可能性を証明する。
• 局所化された代数において、$(a+b)^{[p]} = a^{[p]} + b^{[p]} + \sum \lambda_i(a,b)$ という必要な恒等式が満たされることを検証する。
• 局所化と $R_{\frak{p}}$ 上での普遍包あらわし代数の自由性を用い、$L$ が $R$-加群として有限生成射影的である場合に、制限付き普遍包あらわし代数が $R$ 上で有限生成射影的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リュミニが提供した証明よりも、より直接的かつ自立的な証明が、制限付きリーライネルト代数のPBW定理に適用可能か？
• RQ2 制限付きリーライネルト代数上の $p$-乗法演算が、底環 $R$ の素イデアルにおける局所化に一貫的に拡張可能か？
• RQ3 有限生成射影的である制限付きリーライネルト代数の制限付き普遍包あらわし代数が、$R$-加群として有限生成射影的か？
• RQ4 制限付きリーライネルト代数の局所化が、$p$-演算がリーライネルト公理と整合的であることを含め、依然として制限付きリーライネルト代数の構造を保つか？

主な発見

• 本稿は、特徴 $p > 0$ の下で、制限付きリーライネルト代数の普遍包あらわし代数のPBW定理に対する、より明確で洗練された証明を確立した。
• 基礎となるリーライネルト代数 $L$ が $R$ 上で有限生成射影的である場合に、制限付き普遍包あらわし代数 ${\mathfrak{u}}(R,L)$ が $R$-加群として有限生成射影的であることが示された。
• 局所化 $R_{\frak{p}} \otimes_R L$ は、公式 $(s^{-1}x)^{[p]} = s^{-p-1}(s x^{[p]} - x^{p-1}(s)x)$ を用いて、well-defined な $p$-乗法演算を備え、制限付きリーライネルト代数の構造を持つことが保証された。
• 局所化された代数において、$(a+b)^{[p]} = a^{[p]} + b^{[p]} + \sum \lambda_i(a,b)$ という必要な恒等式が満たされることを証明した。
• 構成法により、局所化されたリーライネルト代数の普遍包あらわし代数が $R_{\frak{p}}$ 上で自由であることが保証され、これが元の代数が $R$ 上で有限生成射影的であることを示唆する。
• 著者は、リュミニの以前の研究における潜在的な欠落を、$p$-構造の局所化における整合性をきめ細かく検証することで解消した。これは、射影的性の結果を導くために不可欠である。