[論文レビュー] A Note on the scale symmetry and Noether current

Naohisa Ogawa|ArXiv.org|Jul 13, 1998

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、作用がスケール変換に対して不変でないが、運動方程式は不変である古典力学および場の理論におけるスケーリング対称性を調査する。作用が時間境界における形式的（非保存）ネーター電荷の差として表現できることを証明し、場の理論では形式的ネーター電流の境界積分として表現できることを示し、標準ネーターの定理を超えたスケーリング対称性の新しい定式化を提供する。

ABSTRACT

Usually we consider the symmetry of action as the symmetry of the theory, however, in the Keplar problem the scaling symmetry existing in equa tion of motion is not the ones for action. It changes the multiplicative c onstant of action and the time boundary. In such a case that the scale tran sformation does not leave the action invariant but keeping the equation inva riant, the following statement is proved. The time integration of Lagrangian is explicitly performed and the action ca n be expressed by the difference of formal (non-conserved) Noether charges a t time boundaries. In field theory the action can be expressed by the bound ary integration of the formal Noether current.

研究の動機と目的

• 作用がスケール変換に対して不変でないが運動方程式が対称である系におけるスケーリング対称性の分析。
• 作用が不変でないスケーリング対称系において、標準ネーターの定理の破綻を解消すること。
• 保存則を満たさないにもかかわらず、作用を形式的ネーター電荷の境界値で再定式化すること。
• 場の理論への形式の拡張により、作用をネーター電流の境界積分として表現すること。
• 作用が不変でない場合の時間境界条件および乗法的定数がスケーリング対称性に果たす役割の明確化。

提案手法

• ラグランジアンの時間積分を導出し、作用を初期時刻および最終時刻における形式的ネーター電荷の差として表現する。
• スケール不変性の欠如により保存則を満たさない「形式的」ネーター電荷の概念を導入する。
• 作用が不変でないが運動方程式にスケーリング対称性を持つケプラー問題を、主要な例として適用する。
• 作用をネーター電流の境界積分として表現することで、場の理論への構成を拡張する。
• 変分法を用いて、作用関数が不変でないにもかかわらずスケール変換に対して不変であることを示す。
• 作用のスケール変換における変換挙動を、乗法的定数および時間境界のシフトを含めて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用がスケール変換に対して不変でない系において、スケーリング対称性を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 ネーター電流が保存されない場合、作用における境界項の果たす役割は何か？
• RQ3 対称性が作用を不変にしない場合でも、形式的ネーター電荷から作用を再構成できるか？
• RQ4 力学から場の理論への形式の拡張は、スケーリング対称性の文脈でどのように行われるか？
• RQ5 作用が不変でないスケーリング対称系において、時間境界依存性の物理的意味は何か？

主な発見

• 作用が不変でないスケーリング対称系において、作用は時間境界における形式的ネーター電荷の差として表現できる。
• ネーター電流が保存されない場合でも、ラグランジアンの時間積分は明確な境界表現を持つ。
• 形式的ネーター電荷を用いた形式は、作用が不変でないが運動方程式にスケーリング対称性を持つケプラー問題に対しても成功裏に適用可能である。
• 場の理論において、作用は形式的ネーター電流の境界積分として表現可能であり、力学的結果を一般化する。
• スケール変換における作用の変換には乗法的定数と時間境界のシフトが含まれており、これらは対称性の保存に不可欠である。
• 結果として、保存電流に限らない状況においてもネーターの定理を形式的電荷を考慮することで拡張可能であることが示された。