[論文レビュー] A Note on the Topology of a Generic Subspace of Riem

Henrique Gomes|ArXiv.org|Sep 11, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非自明な等長変換をもたないコンパクトな3次元多様体上のリーマン計量の空間（$Σ$）が、層の成分の非蓄積に関する位相的条件（$Σ$）の下で収縮可能であることを確立する。無限次元のトムの普遍的横断性およびEbin-Palaisのスライス定理を用いて、$Σ$ が全計量空間 $Σ$ の自明なホモトピー群を引き継ぐことを示し、$Σ$ が微分同相群 $Σ(M)$ による商空間 $Σ/Σ(M)$ がよく扱えることから、幾何力学的解析のための取り扱いやすい設定であることを示す。

ABSTRACT

For Riem(M) the space of Riemannian metrics over a compact 3-manifold without boundary $M$, we study topological properties of the dense open subspace Riem'(M) of metrics which possess no Killing vectors. Given the stratification of Riem(M), we work under the condition that, in a sense defined in the text, the connected components of each stratum do not accumulate. Given this condition we find that one of the most fundamental results regarding the topology of Riem(M), namely that it has trivial homotopy groups, would still be true for Riem'(M). This would make the topology of Riem'(M) completely understood. Coupled with the fact that for Riem'(M), we have a proper principal fibration with the group of diffeomorphisms, which makes Riem'(M)/Diff(M) a proper manifold (as opposed to Riem(M)/Diff(M)), we would have that the homotopy groups of the quotient are given by the homotopy groups of Diff(M), which reflects the topology of $M$. These results would render the space of metrics with no symmetries subject to the above condition, as an ideal setting for geometrodynamical analysis.

研究の動機と目的

• コンパクトな3次元多様体 $M$ 上の非自明な等長変換をもたない計量の空間 $\mathcal{M}'$ の位相的構造を理解すること。
• 対称性群による特異性のため、全幾何空間 $\mathcal{S} = \mathcal{M}/\mathrm{Diff}(M)$ が多様体でないという課題に対処すること。
• 全計量空間 $\mathcal{M}$ が収縮可能であるのを $\mathcal{M}'$ が引き継ぐ条件を確立し、強固な動的解析を可能にする。
• 空間 $\mathcal{M}'$ が $\mathcal{S}' = \mathcal{M}'/\mathrm{Diff}(M)$ 上に主ファイバー束構造を持つことを示し、$\mathcal{S}'$ が適切な無限次元多様体であることを示すこと。

提案手法

• 微分同相群 $\mathrm{Diff}(M)$ の $\mathcal{M}$ 上への作用に対して、Ebin-Palaisのスライス定理を用いて局所スライスを構成し、商の局所自明性を保証する。
• 無限次元バナッハ版のトムの横断性定理を適用し、$\mathcal{M}'$ 内の $n$-次元球面が対称的層へ横断的に収縮可能であることを示す。
• 条件 $\mathcal{C}$ を課す：各層の連結成分が蓄積しないこと。これにより横断性が自明な交わりを意味する。
• $\mathcal{M}$ が収縮可能であることと $\mathcal{M}'$ の一般性を活用し、$\mathcal{C}$ の下でこの性質を $\mathcal{M}'$ に拡張する。
• 主ファイバー束 $\mathrm{Diff}(M) \to \mathcal{M}' \to \mathcal{S}'$ の長完全ホモトピー列を用いて、$\pi_n(\mathcal{S}')$ と $\pi_{n-1}(\mathrm{Diff}(M))$ を関係づける。
• 無限次元分離ヒルベルト多様体の分類定理に依拠：自明なホモトピー群は収縮性を意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量空間 $\mathcal{M}$ の層構造にどのような位相的条件が課されると、非対称計量の部分空間 $\mathcal{M}'$ が収縮可能になるか？
• RQ2 全空間 $\mathcal{M}$ の収縮性が、キリングベクトルを持たない一般計量の部分空間 $\mathcal{M}'$ に拡張可能か？
• RQ3 主ファイバー束構造 $\mathrm{Diff}(M) \to \mathcal{M}' \to \mathcal{S}'$ は $\mathcal{S}'$ のホモトピー型にどのように影響するか？
• RQ4 条件 $\mathcal{C}$ の下で、$\mathcal{S}'$ の位相は $\mathrm{Diff}(M)$ の位相にどれほど依存するか？
• RQ5 $\mathcal{M}'$ がその良好な位相的性質と商構造のおかげで、幾何力学的解析の適切な設定とみなせるか？

主な発見

• 条件 $\mathcal{C}$ の下で、$\mathcal{M}'$ のすべてのホモトピー群が自明であり、$\mathcal{M}'$ が収縮可能であることを示す。
• 商空間 $\mathcal{S}' = \mathcal{M}'/\mathrm{Diff}(M)$ は、$\pi_n(\mathcal{S}') \cong \pi_{n-1}(\mathrm{Diff}(M))$ を満たし、$\mathrm{Diff}(M)$ のホモトピー型を引き継ぐ。
• $\mathcal{M}'$ は明確な主ファイバー束構造を持ち、$\mathcal{S}'$ は適切な無限次元多様体である。
• $\mathcal{M}'$ の収縮性により、調和スライcingなどのゲージ固定手続きにおけるグリボフの曖昧性が存在しない。
• この結果から、$\mathrm{Diff}(M)$ が自身で収縮可能であれば、$\mathcal{M}'$ は $\mathcal{S}' \times \mathrm{Diff}(M)$ に微分同相であることが示される。
• $\mathcal{S}'$ の位相は、$\pi_{n-1}(\mathrm{Diff}(M))$ を通じて $M$ の位相に依存しており、ホモトピー同値だが位相的に同相でない3次元多様体を区別する可能性を秘めている。