[論文レビュー] A note on the very ampleness of complete linear systems on blowings-up of P^3

Cindy De Volder, Antonio Laface|ArXiv.org|Sep 27, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな放物面に存在する一般の r 点を基準に ℙ³ を blown up した多様体上の完全線型系統の非常に正則性、基点自由性、非特異性の必要十分条件を確立する。コhomological 技法と点数に関する帰納法を用いて、線型系統 |dH − m₁E₁ − ⋯ − mᵣEᵣ| が非常に正則であるための必要十分条件が、mᵣ > 0、d ≥ m₁ + m₂ + 1、および 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 3 であることを証明する。

ABSTRACT

In this note we consider the blowing-up X of P^3 along r general points of the anticanonical divisor of a smooth quadric in P^3. Given a complete linear system |L| = |dH - m_1 E_1 -...- m_r E_r| on X, with H the pull-back of a plane in P^3 and E_i the exceptional divisor corresponding to P_i, we give necessary and sufficient conditions for the very ampleness (resp. base point freeness and non-speciality) of L. As a corollary we obtain a sufficient condition for the very ampleness of such a complete linear system on the blowing-up of P^3 along r general points.

研究の動機と目的

• 滑らかな放物面上の一般の r 点を基準に ℙ³ を blown up した場合の完全線型系統の非常に正則性に関する必要十分条件を特定すること。
• このような線型系統の基点自由性および非特異性を特徴づけること。
• 非特異な双曲的除法子を持つ有理的表面の結果を、高次元の blown up に一般化すること。
• 放物面上に制限されない一般の r 点に対しても、非常に正則性の十分条件を提供すること。

提案手法

• 滑らかな放物面上の一般の r 点を基準に ℙ³ を blown up した多様体 X を用い、H を平面の引き戻し、Eᵢ を特異的除法子とする。
• 線型系統 |dH − ∑mᵢEᵢ| の分析に、コhomological な消去と仮想次元の公式を適用する。
• 特異的除法子 Eᵢ への制限および放物面の厳密な引き戻し Qᵣ を含む正確な系列を用いて、0次元スキームの分離性を研究する。
• r に関する帰納法と、有理的表面 Qᵣ 上の線型系統の構造を用いて、非常に正則性を証明する。
• 定理 3.1 に依拠し、非特異性の基準を与える：2d ≥ ∑_{i=1}^4 mᵢ かつ d ≥ m₁ + m₂ − 1 ならば、系統は非特異である。
• 有理的表面で非特異な双曲的除法子を持つ線型系統の非常に正則性に関する [8] の結果を、Qᵣ への制限に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな放物面上の一般の r 点を基準に ℙ³ を blown up した場合、完全線型系統が非常に正則であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 このような線型系統が基点自由または非特異であるのはいつか？
• RQ3 放物面の幾何的性質は、複数の基点を持つ線型系統の挙動にどのように影響するか？
• RQ4 非常に正則性の条件を、放物面上にない一般の r 点に対しても拡張できるか？
• RQ5 双曲的除法子は、線型系統の次元および基点集合を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 滑らかな放物面上の一般の r 点を基準に ℙ³ を blown up した場合、完全線型系統 |dH − m₁E₁ − ⋯ − mᵣEᵣ| が非常に正則であるための必要十分条件は、mᵣ > 0、d ≥ m₁ + m₂ + 1、および 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 3 である。
• 系統が基点自由であるための必要十分条件は、d ≥ m₁ + m₂ かつ 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 2 である。
• 系統が非特異であるための条件は、d ≥ m₁ + m₂ − 1 かつ 2d ≥ m₁ + m₂ + m₃ + m₄ であり、4d ≥ ∑mᵢ を満たす場合に限る。
• r ≤ 8 の場合、点が一般位置にあることで、[5,6] の既知の結果を用いて次元および基点集合を計算可能である。
• 非常に正則性の条件は、放物面上にない一般の r 点に対しても、開性を用いて拡張可能であり、十分条件として mᵣ > 0、d ≥ m₁ + m₂ + 1、および 4d ≥ ∑mᵢ + 3（r ≥ 9 の場合）が得られる。
• 放物面の厳密な引き戻しへの系統の制限は、同じ条件下で非常に正則であるため、0次元スキームの帰納的分離が可能になる。