[論文レビュー] A note on the volume flux of smooth and continuous strictly contact isotopies

Stefan Müller|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、接触多様体上の滑らかで連続な厳密接触同倫写像におけるフラックス同型写像を調査し、接触形式が正則であってもフラックスが非自明である可能性があり、また厳密接触同倫写像へのフラックスの制限が全射でない可能性があることを示している。ハミルトニアンや標準的接触設定とは異なり、このような同倫写像の正則化に新たな障害が生じることを特定し、質量フロー同型写像を用いてフラックスが $C^0$ 限界へ連続に拡張されることを証明している。

ABSTRACT

This note on the flux homomorphism for strictly contact isotopies complements the recent paper [MS11a] by P. Spaeth and the author. We determine the volume flux restricted to symplectic and volume-preserving contact isotopies and their C^0-limits for some classes of symplectic and contact manifolds and for a number of examples. In particular, we see that the restriction of the flux may fail to be surjective. It vanishes for an isotopy preserving a regular contact form, but can be nontrivial for non-regular contact forms. Applications are discussed in the article cited above. We also find obstructions to regularizing a strictly contact isotopy that are not present for Hamiltonian isotopies [Pol01, Section 5.2] or contact isotopies [MS11b].

研究の動機と目的

• シンプレクティックおよび体積保存接触同倫写像へのフラックス同型写像の像を特定し、それらの $C^0$-限界についても考察すること。
• 厳密接触同倫写像の文脈において、フラックス写像が全射でない場合の条件を分析すること。
• ハミルトニアンまたは標準的接触同倫写像の文脈では生じない、厳密接触同倫写像の正則化に起因する新たな障害を同定すること。
• 質量フロー同型写像を用いて、厳密接触同倫写像の $C^0$-限界へのフラックス同型写像の連続的拡張を実現すること。

提案手法

• 体積保存同倫写像に対して、$\mathrm{Flux}(\{X_t\}) = \left[\int_0^1 \iota(X_t)\mu \, dt\right] \in H^{\dim M - 1}(M, \mathbb{R})$ として定義されるフラックス同型写像を用いる。
• シンプレクティックおよび接触的フラックスのバージョンを、それぞれ $\omega^{n-1}$ および $(d\alpha)^n$ との外積を介して関連付ける。
• ポincare双対性を用いてフラックスを質量フロー同型写像と同定し、$\int_M \mathrm{Flux}(X) \wedge f^*\sigma = \Theta(X)(f)$ の関係を用いる。
• 写像 $H \mapsto (n+1)\left[\int_0^1 H_t \, dt \cdot (d\alpha)^n\right]$ を用いて、厳密接触同倫写像におけるフラックス像を特徴付ける。
• コホモロジーとホモロジーの双対性を用いて、標準的接触形式を伴う $T^{n+1} \times S^n$ のような例で全射性を示す。
• 質量フロー同型写像の $C^0$-連続性を応用し、フラックスを連続的同倫写像へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触形式が正則であっても、厳密接触同倫写像のフラックスが消える条件は何か？
• RQ2 厳密接触同倫写像に制限されたフラックス同型写像が全射でない場合があり得るか？ もしそうなら、その幾何学的または位相的条件は何か？
• RQ3 ハミルトニアンまたは標準的接触同倫写像の文脈とは異なり、厳密接触同倫写像の正則化に生じる障害は何か？
• RQ4 フラックスはどのように $C^0$-限界へ連続に拡張され、質量フロー同型写像はこの拡張において果たす役割は何か？

主な発見

• 接触形式が正則であっても、厳密接触同倫写像のフラックスは非自明である可能性があり、このような同倫写像ではフラックスが自明であると予想されるのとは反して、非自明なフラックスが生じ得ることを示している。
• 例として、$H^1(M,\mathbb{R})$ のランクが 1 であるが $H^{2n}(M,\mathbb{R})$ が非自明であるような場合に、厳密接触同倫写像へのフラックスの制限が全射でないことが示されている。
• 標準的接触構造を伴う $T^{n+1} \times S^n$（$n > 1$）において、フラックスは厳密接触同倫写像に制限された際に全射であり、その像はホモロジー基底に双対な $\{(n+1)[H_k (d\alpha)^n]\}$ で張られる。
• フラックス同型写像は、質量フロー同型写像を介して $C^0$-限界へ連続に拡張可能であり、これはポincare双対性により、質量フロー同型写像が $C^0$-連続であることに起因する。
• 基本関数 $H$ によって生成される厳密接触同倫写像のフラックスは、明示的に $(n+1)\left[\int_0^1 H_t \, dt \cdot (d\alpha)^n\right]$ として与えられ、像が $(d\alpha)^n$ を用いた基本関数の代数上で生成されることを示している。
• $S^3$ と標準的接触形式の場合は、フラックス像のランクが少なくとも2以上であることが示されており、単純な接触多様体に対しても非自明なフラックスが生じ得ることを示している。