[論文レビュー] A Note on Touching Cones and Faces

Stephan Weis|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限次元ユークリッド空間内の凸集合に対して、接触錐（touching cones）の概念を導入し、分析する。凸体の極対偶の面ラティスと元の凸体の接触錐ラティスとの間で、新しい等単調ラティス同型写像を確立する。主な貢献は定理8.3であり、正の包（positive hull）作用素が、極対偶体の面から元の凸体の接触錐への等単調ラティス同型写像を誘導することを証明しており、露出面と法線錐の間の古典的反単調双対性を拡張する。

ABSTRACT

We study touching cones of a (not necessarily closed) convex set in a finitedimensional real Euclidean vector space and we draw relationships to other concepts in Convex Geometry. Exposed faces correspond to normal cones by an antitone lattice isomorphism. Poonems generalize the former to faces and the latter to touching cones, these extensions are non-isomorphic, though. We study the behavior of these lattices under projections to affine subspaces and intersections with affine subspaces. We prove a theorem that characterizes exposed faces by assumptions about touching cones. For a convex body K the notion of conjugate face adds an isotone lattice isomorphism from the exposed faces of the polar body to the normal cones of K. This extends to an isomorphism between faces and touching cones.

研究の動機と目的

• 凸集合の接触錐の概念を形式化し、露出面と法線錐の間の古典的双対性を拡張する。
• 接触錐のラティス的構造と、面、法線錐、極双対性との関係を調査する。
• 凸体の極対偶の面ラティスと、その凸体自体の接触錐ラティスとの間で、新たな同型写像を確立する。
• アフィン射影および交差の下でのこれらの構造の振る舞いを明確にし、接触錐を用いて露出面を特徴付ける。

提案手法

• ラティス理論を用いて、凸集合、面、法線錐、接触錐の順序構造を分析する。
• 極対偶体の面から元の凸体の接触錐への写像を担う中心的道具として、正の包作用素（pos）を導入する。
• 露出面と法線錐の間の古典的双対性（反単調同型写像）を基盤として、接触錐への拡張を試みる。
• アフィン部分空間上の射影および交差作用素を用いて、法線錐と接触錐の役割を比較する。
• 正の包作用素が、極対偶体の面ラティスと元の凸体の接触錐ラティスとの間で、等単調ラティス同型写像を誘導することを証明する。
• ミンコフスキーの定理およびカラテオドリの定理を用いて、面や法線錐を表現するのに必要な原子または余原子の数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触錐は法線錐をどのように一般化するのか。また、凸集合のラティス構造において、接触錐は果たす役割は何か。
• RQ2 露出面と法線錐の間の古典的反単調同型写像は、すべての面と接触錐を含むより広範な双対性に拡張可能か。
• RQ3 凸集合の射影および交差と、それらの接触錐および面の振るまいとの関係は何か。
• RQ4 どのような条件下で、面がその関連する接触錐を用いて、余原子の交差として特徴付けられるか。
• RQ5 正の包作用素は、極対偶体の面ラティスと元の凸体の接触錐ラティスとの間に、どのように関係するか。

主な発見

• 定理8.3により、正の包作用素が、極対偶体 $K^{\bullet}$ の面ラティスと元の凸体 $K$ の接触錐ラティス $\mathcal{T}(K)$ の間で、等単調ラティス同型写像を誘導することが証明された。
• この同型写像は、露出面と法線錐の間の古典的反単調双対性を、すべての面と接触錐を含むより広範な双対性へと拡張する。
• 任意の少なくとも2点を持ち、原点を内部に含む凸体 $K$ に対して、この同型写像は成り立ち、アフィン埋め込みにより原点の条件を除去して拡張可能である。
• 接触錐の構造により、$\mathbb{E} \setminus \{0\}$ が接触錐の相対内部に分割されること（註7.3）。
• 定理8.4では、$K$ の適切な露出面 $F$ が、すべての部分面が露出であるという条件下で、$\dim(F)+1$ 個以下の原子の上限として表現可能であることが示された。
• 定理8.5では、$K$ の適切な法線錐 $N$ が、$\dim(F_{\perp}(K,N))+1$ 個以下の余原子の交差として表現可能であり、特に立方体の正方形面の法線ベクトルに対して等号が成立することを確立した。