[論文レビュー] A Note on Unconditional Subexponential-time Pseudo-deterministic Algorithms for BPP Search Problems

Dhiraj Holden|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限個の入力長に対して、すべての検索-BPP問題に対する、条件なしの擬似決定的アルゴリズムを初めて提示している。PSPACEの硬さ仮定の下での擬似乱数生成機と標準的なサンプリング技術を活用することで、任意の多項式時間でサンプリング可能な分布に対して、入力とランダムネスの両方の上で、高確率で一意な正しい解が出力されることを保証する。

ABSTRACT

We show the first unconditional pseudo-determinism result for all of search-BPP. Specifically, we show that every BPP search problem can be computed pseudo-deterministically on average for infinitely many input lengths. In other words, for infinitely many input lengths and for any polynomial-time samplable distribution our algorithm succeeds in producing a unique answer (if one exists) with high probability over the distribution and the coins tossed.

研究の動機と目的

• すべての検索-BPP問題に対して、部分指数時間で動作する擬似決定的アルゴリズムの存在を確立すること。
• すべての多項式時間でサンプリング可能な分布に対して、出力の平均的一意性を達成すること。
• 一般のBPP検索問題に対して、擬似決定的性質を条件なしに達成できるかどうかという未解決の問いを解消すること。
• 特定の問題に対する従来の擬似決定的アルゴリズムの結果を、全クラス検索-BPPへと拡張すること。
• 擬似乱数性、回路下界、平均的計算の間の関係を調査すること。

提案手法

• PSPACEが部分指数時間BPPに含まれるかどうかによる場合分けによる証明を行う。
• PSPACE ⊆ BPTIME(e_{1/2+ε}(n)) である場合、BPEの部分指数時間回路下界が得られ、パディングと既知の結果を用いて擬似決定的アルゴリズムが構築可能になる。
• PSPACE ⊈ BPTIME(e_{1/2+ε}(n)) である場合、時間 e_{1/2+ε}(n) で任意の均一アルゴリズムから区別できない、ストレッチ e_{1/2+ε}(n) の擬似乱数生成機（PRG）を構築する。
• アルゴリズムはPRGを用いてランダムネスをサンプリングし、その出力を繰り返し処理し、元のBPP検索アルゴリズムを実行し、BPP検証者で解を検証する。
• アルゴリズムは最初に見つかった有効な解を出力し、PRGが一様分布から区別できないことにより、出力の一意性が保証され、高確率で一貫性が保たれる。
• 構成は、部分指数時間のバウンドを表現するために分数指数関数 e_α(n) を用い、先行研究からの標準的サンプリング技術を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての検索-BPP問題は、無限個の入力長に対して、部分指数時間で動作する擬似決定的アルゴリズムで解けるか？
• RQ2 計算的仮定に依存せずに、すべての多項式時間でサンプリング可能な分布に対して、出力の一意性を平均的に達成することは可能か？
• RQ3 一般の検索-BPPに対して擬似決定的アルゴリズムが存在することは、新たな回路下界を示唆するか？
• RQ4 この結果を、無限個の入力長に限らず、すべての入力長に拡張できるか？
• RQ5 現在の擬似乱数技術を用いて、検索-BPPの最悪ケースに対する擬似決定的アルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• すべての関係は、無限個の入力長とすべての多項式時間でサンプリング可能な分布に対して、HeurPsdTIME(e_{1/2+ε}(n), 1/poly(n)) に含まれる。
• PSPACE が部分指数時間BPP に含まれないという仮定の下で、一様分布から区別できない擬似乱数生成機を用いることで、アルゴリズムは擬似決定的性質を達成する。
• PSPACE ⊆ BPTIME(e_{1/2+ε}(n)) である場合、BPE に対して部分指数時間サイズの回路下界が得られ、既知の技術を用いて擬似決定的計算が可能になる。
• 入力分布とランダムネスの両方の上で、正しい解が少なくとも 1 - 1/poly(n) の確率で出力され、高い一貫性が保証される。
• 証明は、PSPACE が部分指数時間BPP に含まれないという仮定の下で、時間 e_{1/2+ε}(n) で一様分布から区別できないストレッチ e_{1/2+ε}(n) の擬似乱数生成機の存在に依存する。
• 結果は条件なしである。標準的な階層崩壊や硬さ仮定を除き、未証明の複雑性仮定を必要としない。