[論文レビュー] A Note on Value Sets of Polynomials over Finite Fields

Leyla Işık, Alev Topuzoğlu|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2017

Coding theory and cryptography被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、有限体 Fq (q ≥ 5, 奇数の素数冪) 上で線形置換を n 点で変更することにより得られる新しい多項式のクラス Fq,n を導入する。再帰的に定義された有理関数を用いた構成的技法により、部分群や F∗q の陪集合を避けるような指定された値集合をもつ多項式を特徴付ける。主な貢献は、値集合のサイズが 2, 3, 4, q−n, q−n+1 の場合の完全な記述であり、明示的な値集合の個数と最大度数が得られ、均等に分布する値を持つ多項式の構成が可能になる。これは、特性 2 における既存の結果を奇数特性へ拡張するものである。

ABSTRACT

Most results on the value sets $V_f$ of polynomials $f \in \mathbb{F}_q[x]$ relate the cardinality $|V_f|$ to the degree of $f$. In particular, the structure of the spectrum of the class of polynomials of a fixed degree $d$ is rather well known. We consider a class $\mathcal{F}_{q,n}$ of polynomials, which we obtain by modifying linear permutations at $n$ points. The study of the spectrum of $\mathcal{F}_{q,n}$ enables us to obtain a simple description of polynomials $F \in \mathcal{F}_{q,n}$ with prescribed $V_F$, especially those avoiding a given set, like cosets of subgroups of the multiplicative group $\mathbb{F}_q^*$. The value set count for such $F$ can also be determined. This yields polynomials with evenly distributed values, which have small maximum count.

研究の動機と目的

• 有限体 Fq 上で n 点で線形置換を変更することにより得られる新しい多項式のクラス Fq,n のスペクトルを研究すること。
• Fq,n に属する多項式の特定の値集合（例えば、サイズ 2, 3, 4 のような小さな集合、サイズ q−n, q−n+1 のような大きな集合）をもつ多項式の構成的特徴付けを提供すること。
• このような多項式の値集合の個数と最大度数を特定し、均等に分布する値を持つ多項式の構成を可能にすること。
• 特性 2 における値分布に関する既知の結果（例えば、Cusick の研究）を、F∗q の部分群の陪集合を避ける多項式を構成することにより、奇数特性へ拡張すること。

提案手法

• Fq,n を F(x) = f(x) + x と定義し、f ∈ Pq,n を、Fq 上の線形多項式 g(x) = ax + b を n 個の異なる点で変更することで得られる置換とする。
• すべての δ ∈ Fq に対して f(δ) = (...((c₀δ)^{q−2} + c₁)^{q−2} ... + cₙ)^{q−2} という再帰的有理関数表現を用いて f(δ) をモデル化する。
• 係数と極構造を関連付けるために、αₖ = cₖ₋₁αₖ₋₁ + αₖ₋₂ および βₖ = cₖ₋₁βₖ₋₁ + βₖ₋₂（初期値 α₀=0, α₁=c₀, β₀=1, β₁=0）の再帰関係を用い、αₙ₊₁ = 0 となるようにする。
• On を {xᵢ = −βᵢ/αᵢ : 1 ≤ i ≤ n} と表現することで、変更点を明示的に構成可能にする。
• 逆過程を適用する：αₙ₊₁=0 かつ 1≤i≤n で αᵢ≠0 である有理関数 Pₙ(c₀,…,cₙ;x) が与えられたとき、g(x) と f(x) を一意に回復できる。
• この枠組みを用いて、群の位数と単位根に基づくパrameter 選択により、F∗q の部分群 U ≤ F∗q の陪集合を避けるような多項式を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q が奇数特性をもつ有限体 Fq であるとき、|VF| = 2, 3, 4, q−n, または q−n+1 となるような指定されたサイズの値集合を持つ多項式を、体系的な方法で構成できるか？
• RQ2 F ∈ Fq,n である多項式 F に対して、値集合 VF を明示的に記述できるか。特に、F∗q の部分群の陪集合を避ける場合に有効か？
• RQ3 このような多項式の値集合の個数と最大度数は何か？また、均等な分布（例：最大度数 ≤2）を達成できるか？
• RQ4 特性 2 における値分布に関する既知の結果（例：Cusick の研究）を、この構成により奇数特性へ拡張できるか？

主な発見

• q = pr で p > n(n+1 のとき、a = −1, b = n(n−1)/2, On = {0, 1, 2, ..., n−1} とすると、|VF| = n+1 であり、値集合の個数は (v₀ = q−n−1, v₁ = n, v_{q−n} = 1) となる。
• q ≡ 1 mod n かつ ord(−a) = n のとき、On = {b∑_{j=0}^{n−i} (−1/a)^j : 1 ≤ i ≤ n} とすると、|VF| = q−n であり、値集合の個数は (v₀ = n, v₁ = q−n−1, v_{n+1} = 1) となる。非ゼロ値はすべてちょうど一度ずつ現れる。
• q ≡ 1 mod 2n かつ ord(a) = 2n のとき、構成により |VF| ≥ q−n であり、最大度数は 2 以下となる。これにより、値の分布が均等になる。
• a = −1 かつ b ≠ 0、On = {(1−i)b : 1 ≤ i ≤ n−1}, xn = b のとき、値集合は VF = {0, b, nb} であり、重複度は m(0) = n−1, m(b) = q−n, m(nb) = 1 である。
• 任意の F∗q の部分群 U ≤ F∗q について、|U| = n とする。a = −1/α, b = −ac（α が U を生成）とすると、F ∈ Fq,n であり、VF = Fq \ cU となる。つまり、cU に属するすべての値が回避される。
• この構成により、特性 2 における Cusick の結果（均等に分布する値）が奇数特性へ一般化され、Fq,n に属する多項式は非ゼロ値に対して最大度数 2 または 1 を達成する。