[論文レビュー] A note on weak amenability for reduced free products of discrete quantum groups

Amaury Freslon|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、各因子がその定数を有する場合、離散量子群の還元自由積におけるCowling-Haagerup定数が1のままであることを確立する。量子版のKhintchine不等式とDawsによる完全有界マルチプライヤーの特徴付けを用いて、完全有界作用素ノルムにおける単位的完全正則近似を構成し、この設定において弱アーベル性が自由積のもとで保存されることを証明する。

ABSTRACT

We prove that the Cowling-Haagerup constant of a reduced free product of weakly amenable discrete quantum groups with Cowling-Haagerup constant equal to 1 is again equal to 1.

研究の動機と目的

• 離散群の自由積における弱アーベル性に関するRicardとXuの結果を、離散量子群の設定へと拡張すること。
• すべての因子が定数1を有する場合、Cowling-Haagerup定数が還元自由積のもとで保存されることを確立すること。
• 量子群上の完全有界マルチプライヤーのDawsによる特徴付けを活用して、ノルム近似列を構成すること。
• Cowling-Haagerup定数が1である弱アーベルな離散量子群の還元自由積が、自身もまた同じ定数を有する弱アーベル性を有することを証明すること。

提案手法

• Hilbert空間値写像 α および β を用いた、離散量子群上の完全有界マルチプライヤーのDawsによる特徴付けを用いる。
• ℓ∞(Ĝi) 内の有限台付き要素のネットを構成し、点wise で恒等写像に収束させるとともに、cb-ノルムが1に近づくようにする。
• マルチプライヤー近似のノルムを制御するために、量子版のKhintchine不等式を適用する。
• 標準的および逆転L²ノルムの両方で、マルチプライヤー ma を近似する単位的完全正則写像 Mγ̃ を用いる。
• von Neumann代数上のトレースと整合性を保つために、近似写像の τ-不変性を検証する。
• 定理4.1を適用して、自由積のCowling-Haagerup定数が1であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各因子が定数1を有する場合、離散量子群の還元自由積においてCowling-Haagerup定数は1のままであるか？
• RQ2 RicardとXuによる群に対する古典的証明技法が、非可換な離散量子群の設定へと一般化可能か？
• RQ3 自由積におけるマルチプライヤーの完全有界ノルムを制御可能にする量子版のKhintchine不等式が存在するか？
• RQ4 量子群マルチプライヤーに対して、完全有界作用素ノルムおよびL²ノルムの両方で単位的完全正則近似を構成可能か？
• RQ5 近似写像のτ-不変性は、自由積のvon Neumann代数上のトレースと整合性を保証するか？

主な発見

• 離散量子群の還元自由積のCowling-Haagerup定数は、各因子が定数1を有する場合、1に等しい。
• 証明は、完全有界作用素ノルムにおけるマルチプライヤーへの単位的完全正則近似の構成に依拠する。
• 近似は、標準的および逆転L²ノルムの両方で有効であり、誤差は6εで抑えられる。
• 近似写像 Mγ̃ がτ-保存的であることが示され、von Neumann代数上のトレースと整合性が保証される。
• 量子群双対性とDawsのマルチプライヤー特徴付けを用いて、RicardとXuの群に関する定理が離散量子群の設定へと拡張される。
• 例として、双対群がCowling-Haagerup定数1を有する自由直交およびユニタリ量子群があり、それらの自由積はこの性質を継承する。