[論文レビュー] A Novel Algebraic Geometry Compiling Framework for Adiabatic Quantum Computations

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、多項式整数最適化問題を量子アニーリング（AQC）ワークロードにコンパイルするための、代数幾何学に基づく新規フレームワークを提示する。Groebner基底を用いたトーリックイデアル上の計算により、高次多項式問題をQUBO形式に体系的に還元し、ファイバー束および不変座標技術を用いて実行可能なマイナー埋め込みを可能にするとともに、スペクトルギャップを解析的にモデル化する。これは、AQC用の一般用途・アルゴリズム的コンパイラとしての初のものであり、量子コンパイラ設計およびイジングアーキテクチャ合成に応用可能である。

ABSTRACT

Adiabatic Quantum Computing (AQC) is an attractive paradigm for solving hard integer polynomial optimization problems. Available hardware restricts the Hamiltonians to be of a structure that allows only pairwise interactions. This requires that the original optimization problem to be first converted -- from its polynomial form -- to a quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) problem, which we frame as a problem in algebraic geometry. Additionally, the hardware graph where such a QUBO-Hamiltonian needs to be embedded -- assigning variables of the problem to the qubits of the physical optimizer -- is not a complete graph, but rather one with limited connectivity. This "problem graph to hardware graph" embedding can also be framed as a problem of computing a Groebner basis of a certain specially constructed polynomial ideal. We develop a systematic computational approach to prepare a given polynomial optimization problem for AQC in three steps. The first step reduces an input polynomial optimization problem into a QUBO through the computation of the Groebner basis of a toric ideal generated from the monomials of the input objective function. The second step computes feasible embeddings. The third step computes the spectral gap of the adiabatic Hamiltonian associated to a given embedding. These steps are applicable well beyond the integer polynomial optimization problem. Our paper provides the first general purpose computational procedure that can be used directly as a $translator$ to solve polynomial integer optimization. Alternatively, it can be used as a test-bed (with small size problems) to help design efficient heuristic quantum compilers by studying various choices of reductions and embeddings in a systematic and comprehensive manner. An added benefit of our framework is in designing Ising architectures through the study of $\mathcal Y-$minor universal graphs.

研究の動機と目的

• ハードウェア制約の下で、一般の多項式整数最適化問題を量子アダビティブ量子計算（AQC）ワークロードにコンパイルする課題に対処すること。
• 現在のAQCハードウェアが、2体相互作用に限定され、疎で完全でない接続性グラフしかサポートしないという制限を克服すること。
• QUBOへの還元、埋め込み計算、スペクトルギャップ分析を統合した、体系的でアルゴリズム的なコンパイラを構築すること。
• 代数幾何学を用いて、$\mathcal{Y}$-マイナー普遍グラフを同定することで、イジング量子アーキテクチャの原理的設計を可能にすること。
• 小規模な問題における埋め込みと還元の包括的分析を可能にすることで、ヒューリスティック量子コンパイラの評価のためのテストベッドを提供すること。

提案手法

• 目的関数の単項式から生成されるトーリックイデアルのGroebner基底を計算することで、多項式最適化問題をQUBOに還元する。
• ファイバー束構造と不変座標から導かれる多項式方程式系として、問題グラフからハードウェアグラフへの埋め込みをモデル化する。
• 除去順序を用いたGroebner基底計算により、実行可能な埋め込みを特定し、$\mathcal{Y}$-マイナー普遍グラフを同定する。
• 埋め込み多様体の点を関数としてアダビティブハミルトニアンのスペクトルギャップを定式化し、埋め込み選択に対する解析的依存関係を可能にする。
• 古典的不変量理論と代数幾何学的ツールを用いて、方程式を明示的に解かずに埋め込みの数を数える。
• すべてのステップを統合したフレームワークを構築し、完全なコンパイルとヒューリスティック量子コンパイラの実験的評価の両方を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何学を用いて、多項式整数最適化問題をどのように体系的にQUBO形式に還元できるか？
• RQ2 AQCにおける問題グラフからハードウェアグラフへの実行可能なマイナー埋め込みを計算する際、Groebner基底が果たす役割は何か？
• RQ3 アダビティブハミルトニアンのスペクトルギャップは、埋め込み多様体の構造とどのように解析的に関連するか？
• RQ4 与えられた問題グラフ族 $\mathcal{Y}$ に対して、$\mathcal{Y}$-マイナー普遍グラフの存在を保証する条件は何か？
• RQ5 このフレームワークは、ヒューリスティック量子コンパイラの評価と設計にどのようにテストベッドとして機能するか？

主な発見

• このフレームワークは、多項式整数最適化問題をAQCワークロードにコンパイルするための、初の一般用途・アルゴリズム的コンパイラを提供する。
• 多項式問題からQUBOへの還元は、トーリックイデアル上のGroebナーベース計算により達成され、体系的かつ原理的である。
• ファイバー束および対称性制約から導かれる多項式方程式系の解法により、実行可能なマイナー埋め込みが計算され、解はGroebner基底に符号化される。
• アダビティブハミルトニアンのスペクトルギャップは、埋め込み多様体に解析的に依存し、異なる埋め込み選択における性能予測が可能になる。
• $\mathcal{Y}$-マイナー普遍グラフの存在は、埋め込み系の簡約Groebner基底に1が存在しないことによって保証され、すべてのこのようなグラフと埋め込みは基底から回復可能である。
• 代数的制約を用いた明示的構成により、このフレームワークは、与えられた族 $\mathcal{Y}$ のすべてのグラフをマイナーとして含むハードウェアグラフを同定することで、イジングアーキテクチャの設計を可能にする。