[論文レビュー] A Novel Approach to Spherical Harmonics Expansion for Electron Transport in Semiconductors

S.F. Liotta, Armando Majorana|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2000

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、半導体におけるボルツマン輸送方程式に対して、球面調和関数展開の新規アプローチを提示する。この手法により、放物型バンド近似および非放物型バンド近似の両方において、電子輸送の高精度なモデル化が可能となる。散乱演算子にエネルギーカットを導入し、漸近解を導出することで、特に高電界領域において数値結果と強い一致を示す一方で、物理的整合性を保ちつつ、完全な運動論的シミュレーションに比べて計算コストを低減する。

ABSTRACT

A set of equations is derived from the Boltzmann kinetic equation describing charge transport in semiconductors. The unknowns of these equations depend on the space-time coordinates and the electron energy. The non-parabolic and parabolic band approximation are treated in detail. In these cases, the set of equations is equivalent to those obtained in the spherical-harmonics expansion. Stationary and homogeneous solutions are explicitly treated. In order to solve numerically the equations, a cut in the energy range is introduced. The modified model maintains the physical characteristics of the original equations. The solution of an asymptotic equation is found and compared to the numerical solutions.

研究の動機と目的

• ドリフト拡散および流体動力学的近似を超える、サブミクロンスケール半導体デバイスにおける計算効率的かつ物理的に正確な電子輸送モデルの開発。
• 球面調和関数展開技術を、ケインモデルを含む非放物型バンド構造へと拡張し、ボルツマン方程式との整合性を維持すること。
• 衝突項における無限大のエネルギー範囲に起因する数値的課題を、物理的に妥当なエネルギーカットを導入することで解決すること。
• 高電界領域における漸近解を導出し、数値解との比較を通じて計算効率の向上を実現すること。

提案手法

• 電子エネルギーの一般形を用いてボルツマン方程式から偏微分-差分方程式のセットを導出する。これは放物型バンドおよび非放物型バンドの両方に適用可能である。
• 分布関数に球面調和関数展開を適用し、運動論方程式をエネルギーおよび角度変数に関するモーメント方程式系に変換する。
• 数値的取り扱いが可能になるように、散乱率カーネルに有限のエネルギーカットを導入するが、重要な物理的性質は保持する。
• エネルギー層に分割した離散化スキームを用いて、質量保存および物理的整合性を保証する境界条件を含めて、得られた方程式系を数値的に解く。
• 特に速度分布関数に対して解析的近似を用いて、大電界領域における漸近解を導出する。
• 分布関数のエネルギー領域における積分を一致させることで、漸近解を数値結果と照合し、整合性を確保するための正規化定数を調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面調和関数展開は、電子輸送モデルにおける非放物型バンド構造を扱うためにどのように一般化可能か？
• RQ2 衝突項にエネルギーカットを導入することは、輸送モデルの物理的忠実性および数値的安定性にどのような影響を及えるか？
• RQ3 高電界領域における導出された漸近解は、モーメント方程式の数値解とどの程度一致するか？
• RQ4 モデルの飽和速度予測精度は、モンテカルロシミュレーションおよび実験データと比較してどの程度か？
• RQ5 漸近解が信頼できる近似となるのはどのような領域か？また、さまざまな電界強度において、全数値解との比較でどのように振る舞うか？

主な発見

• 本モデルは、球面調和関数展開を非放物型バンドにまで拡張することに成功し、放物型バンド近似およびケインバンド近似の両条件下で、既存のフレームワークと同等の結果を示す。
• 放物型バンドの場合、飽和速度は $1.27 \times 10^5~{}\text{m/sec}$ に達するが、実験値の $1.0 \times 10^5~{}\text{m/sec}$ よりわずかに低い値であり、さらなる精錬の余地があることを示唆している。
• 非放物型バンドの場合、$10^5~{}\text{V/cm}$ における速度は $0.95 \times 10^5~{}\text{m/sec}$ に達し、放物型モデルに比べて実験値との一致が良好である。
• 高電界領域において、漸近解は数値結果と優れた一致を示し、エネルギー分布および速度プロファイルにおいて僅かな偏差しか観察されない。
• エネルギーカット戦略は、漸近解と数値解との間で分布関数の積分が一致することから、物理的整合性を保持していることが実証された。
• $w = \alpha$ における速度分布関数の微分の不連続性が観察され、方程式に含まれる $\sqrt{w - \alpha}$ 項に起因するとされ、バンドの非放物性と関連する物理的特徴であると示唆されている。