[論文レビュー] A Novel Finite Difference Method for Euler Equations in 2D Unstructured Meshes

Meiyuan Zhen, Kun Qu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、辺ステンシルにおける一次元非一様WENO補間と頂点におけるフラックス発散の最小二乗再構成を組み合わせることで、非構造格子上での2次元Euler方程式を解くための新規な高次精度有限差分法を提示する。本手法は体積積分や人工的粘性を必要とせず、高次精度と強力な衝撃波捕捉性能を達成しており、代表的なテストケースにおいて優れた効率性と精度を示している。

ABSTRACT

Finite difference method was extended to unstructured meshes to solve Euler equations. The spatial discretization is made of two steps. First, numerical fluxes are computed at the middle point of each edge with high order accuracy. In this step, a one-dimensional curvilinear stencil is assembled for each edge to perform one-dimensional fast non-uniform WENO interpolation derived in this paper, which is much easier and faster than multi-dimensional interpolation. The second step is to compute the divergence of fluxes at each vertex from the fluxes at nearby edges and vertices by least square approximation of multi-dimensional polynomials. The order of the WENO interpolation in the first step and the degree of the polynomial in the second step determined the order of accuracy of the spatial scheme. After that, explicit RungeKutta time discrete scheme is used to update conservative variables. Several canonical numerical cases were solved to test the accuracy, performance and the capability of shock capturing of the developed method.

研究の動機と目的

• 構造格子を必要としない伝統的なFDMの制限を克服し、非構造格子でも動作する高次精度有限差分法を開発すること。
• DG や FR といった要素ベースの手法に依存せずに、複雑な幾何形状でも高次精度と強力な衝撃波捕捉性能を実現すること。
• 非構造格子上の辺における多次元補間の代わりに1次元WENOステンシルを用いることで、計算効率を向上させること。
• 制御体積や数値積分を排除し、頂点における最小二乗近似によってフラックス発散を直接計算することで、計算の簡素化を図ること。
• 高次WENO補間と多項式最小二乗再構成の組み合わせにより、滑らかな解と鋭い衝撃波の両方を高次精度で得ること。

提案手法

• 空間離散化は2段階で実施する。まず、曲線座標系における1次元ステンシルと非一様WENO補間を用いて、辺の中点で高次精度の数値フラックスを計算する。
• 各辺に沿って5点ステンシルを用いたWENO再構成を適用し、滑らかさ指標から導かれる非線形重みを用いることで、滑らかな領域では高次精度を維持し、不連続性付近では3次精度に低下させる。
• 各頂点におけるフラックス発散は、隣接する辺と頂点からのフラックス値を用いた多変数多項式の最小二乗近似によって計算する。
• 本手法は、各辺に対して局所的な非等エントロピー的特性を捉えることができるコンactでトポロジーに適応するステンシルを構築する。
• 第1段階では5次精度のWENO補間を、第2段階では5次多項式再構成を用いることで、全体として5次精度の空間スキームを実現する。
• 時間積分には陽的ルンゲ・クッタスキームを用い、保存変数を時間的に進める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造格子を必要とせず、要素ベースの形状関数を用いない非構造格子上でも高次精度を達成できる有限差分法は構築可能か？
• RQ2 非構造格子有限差分スキームにおいて、高次精度と衝撃波捕捉能力を同時に実現する方法は何か？
• RQ3 非構造格子上では、辺ステンシルにおける1次元WENO補間が多次元補間を上回る効率性と精度を達成できるか？
• RQ4 制御体積や面積分を用いずに、頂点におけるフラックス発散を最適に計算する方法は何か？
• RQ5 本手法は、非構造格子上での既存の高次手法（例：DG や FR）と比較して、精度と性能において優れているか？

主な発見

• 製造解を用いた収束解析により、滑らかな領域で5次精度を達成していることが確認された。
• WENO再構成における非線形重みのおかげで、不連続性付近では3次精度に低下するため、人工的粘性を用いずに強い衝撃波を正常に捕捉できた。
• 辺に沿った1次元WENOステンシルの使用により、特に複雑な幾何形状において、多次元補間と比較して顕著な計算効率の向上が得られた。
• 頂点における最小二乗フラックス発散再構成は、非構造的かつ非一様なメッシュ上でも高精度で安定した結果を提供した。
• 代表的なテストケース（例：衝撃波と渦の相互作用、ダブルマッハ反射）の数値結果から、本手法のロバストネス、精度、および渦や衝撃波といった複雑な流れの特徴を解像する能力が示された。