[論文レビュー] A Novel Fourier Theory on Non-linear Phases and Applications

Tao Qian|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Cardiovascular Health and Disease Prevention被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、非線形位相のための新規フーリエ理論を提示する。信号を正の瞬時周波数を持つモノコンポonentに分解するための適応型フーリエ分解（AFD）を用いることで、遷移信号における時間変動する周波数の正確な表現が可能となり、古典的調和解析が高次元、ベクトル値および行列値信号へと拡張される。信号処理および近似理論への応用を含む。

ABSTRACT

Positive time varying frequency representation for transient signals has been a hearty desire of signal analysts due to its theoretical and practical importance. During approximately the last two decades there has formulated a signal decomposition and reconstruction method rooted in harmonic and complex analysis giving rise to the desired signal representation. The method decomposes any signal into a few basic signals that possess positive instantaneous frequencies. The theory has profound relations with classical mathematics and can be generalized to signals defined in higher dimensional manifolds with vector and matrix values, and in particular, promotes rational approximation in higher dimensions. This article mainly serves as a survey. It also gives a new proof for a general convergence result, as well as a proof for the necessity of multiple selection of the parameters. Mono-components are crucial to understand the concept instantaneous frequency. We will present several most important mono-component function classes. Decompositions of signals into mono-components are called adaptive Fourier decompositions (AFDs). We note that some scopes of the studies on the 1D mono-components and AFDs can be extended to vector-valued or even matrix-valued signals defined on higher dimensional manifolds. We finally provide an account of related studies in pure and applied mathematics, and in signal analysis, as well as applications of the theory found in the literature.

研究の動機と目的

• 非線形位相を有する信号、特に時間変動周波数を有する遷移信号のための新しいフーリエ理論的枠組みの構築。
• 適応型フーリエ分解（AFD）を用いた、正の瞬時周波数を持つモノコンポonentへの信号分解のための厳密な数学的基盤の確立。
• 古典的調和解析および複素解析を、高次元多様体、特にベクトル値および行列値信号へと一般化すること。
• AFDの収束に関する新しい証明を提示し、分解プロセスにおけるパラメータ選択の必要性を示すこと。
• 純粋数学、応用数学、信号解析、実用的応用分野における関連進展を調査・関連付けること。

提案手法

• 本手法は、任意の信号を正の瞬時周波数を持つモノコンポonentの有限列に分解するための適応型フーリエ分解（AFD）を用いる。
• 収束性および分解プロセスの安定性を保証するため、調和解析および複素解析の道具を活用する。
• 理論は、高次元多様体上に定義された信号、特にベクトル値および行列値信号へと一般化される。
• AFDの一般収束結果に関する新しい証明が提示され、この手法の理論的基盤が強化される。
• AFDにおける複数のパラメータ選択の必要性が証明され、分解の堅牢性と正確性が保証される。
• モノコンポonentの構造を活用することで、高次元における有理関数近似が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形位相および時間変動周波数を有する信号を、一般化フーリエ理論を用いて正の瞬時周波数を持つ形で表現する方法は何か？
• RQ2 適応型フーリエ分解（AFD）がモノコンポonentに信号を分解する際の収束に関する数学的基盤は何か？
• RQ3 モノコンポonentおよびAFDの理論を、高次元多様体上のベクトル値および行列値信号へとどのように拡張できるか？
• RQ4 AFDにおけるパラメータ選択の役割は何か？なぜ複数の選択が必要なのか？
• RQ5 この理論と、純粋数学、信号解析、実用的応用分野における既存の結果との関係は何か？

主な発見

• 提示された理論により、任意の信号が正の瞬時周波数を持つ有限個のモノコンポonentに分解され、時間変動周波数の正確な表現が可能になる。
• 適応型フーリエ分解（AFD）の一般収束に関する新しい証明が確立され、その理論的妥当性が強化される。
• AFDにおける複数のパラメータ選択の必要性が厳密に証明され、手法の堅牢性と精度が保証される。
• フレームワークは、ベクトル値および行列値信号を含む、古典的フーリエ理論を高次元多様体へと拡張し、多次元信号処理における新たな応用を可能にする。
• 理論は高次元における有理関数近似と深い関係を築き、近似理論における新たな道筋を提供する。
• サーベイにより、純粋数学、応用数学、信号解析、実装応用分野における主要な進展が同定・統合され、理論の広範な適用可能性が強調される。