[論文レビュー] A Novel Genetic Search Scheme Based on Nature -- Inspired Evolutionary Algorithms for Self-Dual Codes

Adrian Korban, Serap Şahinkaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、有限体 𝔽₂ 上の既知の行列構成を活用して、極値二値自己双対符号の発見を目的とした、遺伝的アルゴリズム（GA）に基づく新規探索手法を提案する。GAは線形探索を著しく上回り、計算時間を大幅に短縮し、11個の新しい extremal [72,36,12] 符号および17個の新しい [72,36,12] 符号を発見した。これらの符号のいくつかは、以前に未知または希少であった重み列挙パラメータを有する。

ABSTRACT

In this paper, a genetic algorithm, one of the evolutionary algorithms optimization methods, is used for the first time for the problem of finding extremal binary self-dual codes. We present a comparison of the computational times between a genetic algorithm and a linear search for different size search spaces and show that the genetic algorithm is capable of finding binary self-dual codes significantly faster than the linear search. Moreover, by employing a known matrix construction together with the genetic algorithm, we are able to obtain new binary self-dual codes of lengths 68 and 72 in a significantly short time. In particular, we obtain 11 new extremal binary self-dual codes of length 68 and 17 new binary self-dual codes of length 72.

研究の動機と目的

• 極値二値自己双対符号の探索において、大規模な探索空間における総当り線形探索の計算不能性に対処すること。
• 特に遺伝的アルゴリズムを含む自然由来の進化的アルゴリズムが、自己双対符号の最適化探索に有効であるかを検証すること。
• 行列構成と遺伝的探索を組み合わせたハイブリッド手法を用いて、長さ68および72の新しい極値二値自己双対符号を発見すること。
• 生成行列が [I|A] の形をとる高次元探索空間において、遺伝的アルゴリズムが線形探索よりも速やかに収束することを示すこと。
• 以前に未知または希少な重み列挙パラメータを有する新しい自己双対符号を同定すること。

提案手法

• 二値自己双対符号の生成行列 [I|A] の探索空間を探索するために、選択、交叉、変異演算子を備えた遺伝的アルゴリズム（GA）を採用する。
• 最小距離の逆数（1/d_i）をフィットネス関数として定義し、より高い最小距離を持つ解を優先する。
• [14] に記載された行列構成を用い、D_18 および D_36 上の群環要素を巡回行列および逆巡回行列に写像することで、探索空間を縮小する。
• 各染色体を [I|A] の行列 A の最初の行として表現し、𝔽₂ 上の要素を用いて生成行列を完全に定義する。
• 固定確率を用いた均一な交叉と変異を適用し、各世代で新たな候補解を生成する。
• 所定の世代数に達した、または最小距離が12の符号が発見された時点でアルゴリズムを終了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遺伝的アルゴリズムは、線形探索に比べて極値二値自己双対符号を発見するための計算時間を著しく短縮できるか？
• RQ2 文献[14] に記載された行列構成と遺伝的アルゴリズムの組み合わせにより、以前に未知の重み列挙パラメータを有する新しい自己双対符号が発見可能か？
• RQ3 自己双対符号の長さ68および72に対する探索空間サイズの増大に伴い、遺伝的アルゴリズムの性能はどのように変化するか？
• RQ4 遺伝的アルゴリズムは、拡張法や近隣法に依存せずに、𝔽₂ 上で直接極値符号を発見できるか？
• RQ5 群環構造（例：D_18 と D_36）の違いが、遺伝的探索の効率性および結果にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 遺伝的アルゴリズムは、長さ68、最小距離12の極値二値自己双対符号を11個発見し、短時間で完了した。
• 遺伝的アルゴリズムは、長さ72、最小距離12の二値自己双対符号を17個発見した。そのうち1つは、W_{72,1} において以前に未知であった重み列挙パラメータ γ = 54 を有する。
• 遺伝的アルゴリズムの計算時間は、線形探索に比べて著しく短く、特に大規模な探索空間において顕著であった。長さ72の符号探索では、線形探索が7日間以上経過しても中断された。
• 遺伝的アルゴリズムは、拡張法や近隣法を用いずに、𝔽₂ 上で直接符号を発見できた。これは、その効率性と直接的適用可能性を示している。
• 新しく発見された符号のいくつかは、位数72または144の自己同型群を有しており、非自明な対称性構造を示している。
• 最小距離の逆数に基づくフィットネス関数は、最適解に向けた探索を効果的に導き、線形探索に比べてはるかに短時間で最小距離12の符号に収束した。