[論文レビュー] A Novel Model Order Reduction Approach for Navier-Stokes Equations at High Reynolds Number

Maciej Balajewicz, Earl H. Dowell+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Model Reduction and Neural Networks参考文献 53被引用数 106

ひとこと要約

本稿では、高レイノルズ数におけるナビエ＝ストークス方程式に対して、データ表現能力に加えエネルギー散逸特性を最適化する空間基底関数を導入することで、新たなモデル順序低減（MOR）手法を提案する。この手法は、経験的乱流モデルを回避する。標準的なプロパー直交分解（POD）-ガレルキンROMとは異なり、正のエネルギー生成率により乱流運動エネルギーを過大予測するのを防ぐ。新しい基底関数は負のエネルギー生成率を示し、最小限の基底関数数で直接数値解法（DNS）の解に収束する安定的かつ正確なROMを実現する。

ABSTRACT

A new approach to model order reduction of the Navier-Stokes equations at high Reynolds number is proposed. Unlike traditional approaches, this method does not rely on empirical turbulence modeling or modification of the Navier-Stokes equations. It provides spatial basis functions different from the usual proper orthogonal decomposition basis function in that, in addition to optimally representing the training data set, the new basis functions also provide stable and accurate reduced-order models. The proposed approach is illustrated with two test cases: two-dimensional flow inside a square lid-driven cavity and a two-dimensional mixing layer.

研究の動機と目的

• 高レイノルズ数乱流における標準的なPOD-ガレルキン低次元モデル（ROM）の不安定性と不正確さを解消すること。
• ナビエ＝ストークス方程式の力学を修正する経験的乱流モデルへの依存を排除すること。
• 訓練データの表現能力とエネルギー散逸特性の両方を最適化する空間基底関数の構築。
• 標準的なPOD-ガレルキン手法に比べて少ないモード数で安定的かつ正確なROMを実現すること。
• リーマン・ドライブ・キャビティおよび混合層といった代表的な乱流流れベンチマークにおいて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 新しい空間基底関数を導出するため、小スケールの制約付き最小化問題を定式化し、標準的なPODモードとは異なる。
• PODから再構成した時間平均乱流運動エネルギーと新しい基底関数との差を最小化するように基底関数を最適化する。
• 物理的一致性を保証するため、時間平均乱流運動エネルギーに制約を課す。
• 非凸最小化問題を解くために、標準的なMATLAB最適化ルーチン（fmincon）を用い、QRに類似た正規化による直交化を実施する。
• 新しい基底関数を用いてガレルキン射影を適用し、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のROMを導出する。
• 変換行列Xにより、新しい時間的係数の正規直交性が保証され、数値的安定性が維持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経験的乱流モデルを回避しつつ、高レイノルズ数流れにおいても精度を維持できるモデル順序低減手法を開発可能か？
• RQ2 訓練データをよく表現するだけでなく、微小スケール乱流構造からのエネルギー散逸を内蔵的に捉えることができる空間基底関数を構築可能か？
• RQ3 新しい基底関数のエネルギー生成率は、標準的なPODモードと比較してどう異なるのか？その影響はROMの安定性にどのようなものか？
• RQ4 新しいROMは、標準的なPOD-ガレルキンROMに比べて少ないモード数で乱流運動エネルギーを正確に予測可能か？
• RQ5 新しい基底関数は、ベンチマーク乱流流れにおける直接数値解法（DNS）の結果への収束性をどの程度向上させるか？

主な発見

• 新しい基底関数は、標準的なPODモードが正のϵを示すのとは異なり、負の乱流運動エネルギー生成率（ϵ < 0）を示し、これが安定化効果を説明する。
• Re = 20,000におけるリーマン・ドライブ・キャビティでは、新しい基底関数を用いたROMは正しい平均乱流運動エネルギーに収束するが、標準的なPOD-ガレルキンROMはそれを過大予測する。
• Reδω = 500における混合層では、n = 5, 10, 20モードの新しいROMが、それぞれ50.21%、66.67%、79.14%の時間平均乱流運動エネルギーを再構成でき、標準的なPOD-ROMを上回る性能を示す。
• 本手法は、標準的なPOD-ガレルキン手法に比べてはるかに少ないモード数で正確かつ安定したROMを実現し、計算コストを削減する。
• 本手法は、ナビエ＝ストークス方程式を変更せず、経験的エディ・ビジコジティ項を導入せず、ROMの安定化に成功している。
• 最適化から導出された変換行列Xにより、新しい時間的係数の正規直交性が保証され、数値的ロバスト性が維持される。