[論文レビュー] A Novel Partitioned Approach for Reduced Order Model -- Finite Element Model (ROM-FEM) and ROM-ROM Coupling

Amy de Castro, Paul Kuberry+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、界面フラックスを消去するためにスシュール補完を用いたモノリシックな定式化により、低次元モデル（ROM）と有限要素法（FEM）または他のROMを、明示的な分割型スキームで結合する新しい手法を提案する。この手法により、反復を要しない1ステップで実行可能な結合が可能となり、高い精度と計算効率を達成する。数値結果では、基底サイズやペクレ数にかかわらず、ROM-FEMおよびROM-ROM解が、グローバルFEM解と非常に近い結果を示している。

ABSTRACT

Partitioned methods allow one to build a simulation capability for coupled problems by reusing existing single-component codes. In so doing, partitioned methods can shorten code development and validation times for multiphysics and multiscale applications. In this work, we consider a scenario in which one or more of the "codes" being coupled are projection-based reduced order models (ROMs), introduced to lower the computational cost associated with a particular component. We simulate this scenario by considering a model interface problem that is discretized independently on two non-overlapping subdomains. We then formulate a partitioned scheme for this problem that allows the coupling between a ROM "code" for one of the subdomains with a finite element model (FEM) or ROM "code" for the other subdomain. The ROM "codes" are constructed by performing proper orthogonal decomposition (POD) on a snapshot ensemble to obtain a low-dimensional reduced order basis, followed by a Galerkin projection onto this basis. The ROM and/or FEM "codes" on each subdomain are then coupled using a Lagrange multiplier representing the interface flux. To partition the resulting monolithic problem, we first eliminate the flux through a dual Schur complement. Application of an explicit time integration scheme to the transformed monolithic problem decouples the subdomain equations, allowing their independent solution for the next time step. We show numerical results that demonstrate the proposed method's efficacy in achieving both ROM-FEM and ROM-ROM coupling.

研究の動機と目的

• 高精度なFEMが計算コストが高いために、マルチフィジックスシミュレーションにおける計算ボトル neck を解消するため、それらを低次元モデル（ROM）で置き換えること。
• 非重複部分領域におけるFEMまたは他のROMとROMをシームレスに統合できる分割型結合フレームワークを開発すること。
• 明示的な時間積分を用いて部分領域の解法を分離しつつ、界面での精度と保存則を維持する、モノリシックで反復を要しないアプローチを実現すること。
• 変動拡散問題および純粋な対流問題に対して、異なるペクレ数と基底サイズを用いて手法の妥当性を検証すること。
• ROM-FEMおよびROM-ROM結合が、計算コストを削減しながらもグローバルFEMと同等の精度を達成できることを示すこと。

提案手法

• 独立した空間離散化を施した2つの非重複部分領域上で、モノリシックな伝達問題を定式化する。
• スナップショット集合に基づき、適切な直交分解（POD）を用いてROMを構築し、その後、低次元基底上へのガラーキン射影を実施する。
• 界面フラックスを表すラグランジュ乗数を導入し、双対スシュール補完を用いてこれをシステムから消去することで、システムの分離を実現する。
• 変換されたモノリシックシステムに対して明示的時間積分スキームを適用し、各タイムステップで部分領域問題を独立して解くことを可能にする。
• スシュール補完を用いて、界面フラックスを各部分領域のノイマン境界条件として近似し、分割解法戦略を可能にする。
• 各部分領域をROMまたはFEMコードとして扱うことで、ROM-FEMおよびROM-ROM結合を可能にし、一貫性のあるフラックス連続性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノリシックで反復を要しない分割型スキームは、精度と安定性を維持しつつ、ROMとFEMまたは他のROMを効果的に結合できるか？
• RQ2 異なる基底サイズおよびペクレ数において、ROM-FEMおよびROM-ROM結合の精度は、グローバルFEM解と比較してどの程度の水準にあるか？
• RQ3 スシュール補完に基づくフラックス消去手法は、界面連続性をどの程度正確に保持し、不適切なアーチファクトを生じさせないか？
• RQ4 FEMをROMに置き換えることで、1つまたは両方の部分領域で計算効率の向上が得られるか？
• RQ5 本手法は、テストされた対流拡散モデルを超えて、非線形およびマルチフィジックス問題へ拡張可能か？

主な発見

• 高ペクレ数および純粋な対流問題の両方において、最終時刻ステップでのROM-FEMおよびROM-ROM解は、グローバルFEM解と視覚的に区別できない。
• 両方の部分領域における界面解が極めて良く一致しており、結合手法が不適切なアーチファクトや不連続性を導入していないことを確認している。
• グローバル解の相対誤差はPOD基底サイズの増加に伴い減少し、特定の中間的基底サイズではグローバルROM解がグローバルFEM解を上回る精度を示している。
• 基底サイズの細分化に伴い、ROM-FEMおよびROM-ROM解はグローバルFEM解に漸近的に収束することが確認され、本手法の一貫性が裏付けられた。
• 高精度なFEMをROMに置き換えることで、顕著な計算コスト削減が達成されつつ、高い解の忠実性を維持している。
• 本手法は異なるペクレ数にわたり安定しており、一元的で反復を要しないフレームワーク内でROM-FEMおよびROM-ROM結合を両方サポートしている。