[論文レビュー] A novel public key cryptography based on generalized Lucas matrices

Kalika Prasad, Hrishikesh Mahato+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2022

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般化ルーカス行列（GLM）に基づく、新たな公開鍵暗号方式を提案する。この方式は、より高次な再帰的数列と有限体上の行列代数を活用しており、鍵交換および行列構築に2つのパラメータ（λ, s）のみを用いることで、鍵送信のオーバーヘッドを低減するとともに、天文学的な巨大な鍵空間を実現する。p=37、λ=50の場合、鍵空間は10^3920を超える。これは離散対数問題の難解性に依存しており、ElGamal風の鍵交換を用いたアフィン・ヒル暗号フレームワークにより、効率的かつ安全な暗号化が可能となる。

ABSTRACT

In this article, we have proposed a generalized Lucas matrix (recursive matrix of higher order) having relation with generalized Fibonacci sequences and established many special properties in addition to that usual matrix algebra. Further, we have proposed a modified public key cryptography using these matrices as keys in Affine cipher and key agreement for encryption-decryption with the combination of terms of generalized Lucas sequences under residue operations. In this scheme, instead of exchanging the whole key matrix, only a pair of numbers(parameters) need to be exchanged, which reduces the time complexity as well as space complexity of the key transmission and has a large key-space.

研究の動機と目的

• 一般化ルーカス行列に基づく新しい公開鍵暗号システムの開発を目的とし、鍵空間の拡大と送信オーバーヘッドの低減を図る。
• 一般化ルーカス数列から導かれる再帰的行列構造を確立し、可逆性および特別な代数的性質を維持する。
• これらの行列をアフィン・ヒル暗号フレームワークに統合し、ElGamal風の鍵交換を用いて安全な暗号化および復号化を実現する。
• 行列構築における離散対数問題の難解性に起因し、ブルートフォース攻撃に対して計算的に安全であることを示す。
• 鍵配布における時間的・空間的複雑度を著しく低減するため、送信に必要なパラメータがλとsの2つに限定されることを示す。

提案手法

• 著者らは、一般化フィボナッチ行列（GFM）のトレースを用いて一般化ルーカス数列（GLS）を定義し、λ次の再帰的行列構造を確立する。
• 一般化ルーカス行列（GLM）を構築し、その要素がGLSの項の線形結合となるようにし、すべてのλ ≥ 2に対して可逆性を保証する。
• 鍵行列K*はL_λ^(-s) H^(-1)として構成され、ここでHは変換行列、L_λ^(s)は一般化ルーカス行列である。これにより行列の逆行列計算と鍵の導出が可能となる。
• 本方式は、シフトベクトルBを用いたアフィン・ヒル暗号を採用しており、暗号化はC = (P - B)K mod p、復号化はP = (C - B)K* mod pとして定義される。
• 公開鍵は行列KとシフトベクトルBから構成され、秘密鍵はλとsから導出される。セキュリティは離散対数問題に依存する。
• 本システムは有限体F_p上に実装され、例ではp=37が使用され、鍵空間の大きさは|GL_λ(F_p)|の公式により計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次再帰的数列から一般化ルーカス行列を構築できるか。その際、可逆性と代数的構造が保たれるか？
• RQ2 一般化ルーカス行列を用いることで、公開鍵暗号における鍵送信のオーバーヘッドをどのように低減できるか？
• RQ3 有限体上での一般化ルーカス行列に基づく暗号システムにおける鍵空間のサイズと強度はどの程度か？
• RQ4 離散対数問題は、この行列ベースの暗号システムにおいて、どの程度セキュリティを強化するか？
• RQ5 アフィン・ヒル暗号は、一般化ルーカス行列とElGamal風の鍵交換を効果的に組み合わせることで、安全かつ効率的な公開鍵システムを構築できるか？

主な発見

• 提案された一般化ルーカス行列L_λ^(s)は、すべてのλ ≥ 2に対して可逆であり、鍵の導出および復号化の実現可能性を保証する。
• F_37上でのGLM、λ=50の場合の鍵空間サイズは約3.105 × 10^3920であり、ブルートフォース攻撃は計算的に不可能である。
• 鍵交換に必要なパラメータはλとsの2つに限定され、全行列を送信する場合と比較して、時間的・空間的複雑度が著しく低減される。
• 署名パラメータsが漏洩しても、セキュリティは維持される。なぜなら、セキュリティはλと離散対数問題にのみ依存するからである。
• 復号行列K* = L_λ^(-s) H^(-1)は、L_λ^s K* = K* L_λ^s = I_λを満たし、正しい一貫性のある復号化が保証される。
• 実装例では、導出された鍵行列とシフトベクトルを用いて、暗号文から平文'NOBLE2022'を正常に復元でき、本方式の正しさが検証された。