[論文レビュー] A Novel Sixth Order Energy-Conserved Method for Three-Dimensional Time-Domain Maxwell's Equations

Chaolong Jiang, Wenjun Cai+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、三次元時領域Maxwell方程式に対する新規の6次精度エネルギー保存型数値スキームを提案する。空間方向にはスペクトル離散化を、時間方向には高次平均ベクトル場法（AVM）を組み合わせたものであり、5つのエネルギー保存則、3つの運動量保存則、シンプレクティック性、および2つの発散なし制約を保存する。無条件安定性と最適な誤差評価（定数がO(T)に比例するのみ）を達成しており、数値分散解析および高速なFFTベースのスolverによって検証されている。

ABSTRACT

In this paper, a novel sixth order energy-conserved method is proposed for solving the three-dimensional time-domain Maxwell's equations. The new scheme preserves five discrete energy conservation laws, three momentum conservation laws, symplectic conservation law as well as two divergence-free properties and is proved to be unconditionally stable, non-dissipative. An optimal error estimate is established based on the energy method, which shows that the proposed method is of sixth order accuracy in time and spectral accuracy in space in discrete $L^{2}$-norm. The constant in the error estimate is proved to be only $O(T)$. Furthermore, the numerical dispersion relation is analyzed in detail and a fast solver is presented to solve the resulting discrete linear equations efficiently. Numerical results are addressed to verify our theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 長時間のシミュレーションにおいても主要な物理的保存則を保存する、三次元時領域Maxwell方程式の高次数値スキームの開発。
• 従来の2次または4次スキームでは、しばしば高次時間精度を欠くか、発散なし制約を満たさないという限界を克服すること。
• 時間Tに比例してのみ増大する定数を有する最適誤差評価（O(T)）を確立することにより、長時間積分におけるロバストな収束性を保証すること。
• 数値分散関係を解析し、標準的な擬似スペクトル法と比較して位相速度および群速度の精度が向上することを示すこと。
• FFTを用いた効率的スローラーを設計し、高次元問題においても計算コストを増大させることなく、得られる線形系を解けるようにすること。

提案手法

• 空間離散化には、Fourier補間点を用いたスペクトル離散化を採用し、空間方向にスペクトル精度を達成する。
• 時間方向に6次精度を達成するため、エネルギー保存およびシンプレクティック性を保証するように修正された平均ベクトル場法（AVM）を用いる。
• スキームは、電場および磁場の5つの離散的エネルギー保存則、3つの運動量保存則、および2つの発散なし制約を保存するように構築される。
• 各時間ステップにおける得られる線形系は、FFTアルゴリズムを用いて効率的な逆行列計算が可能な行列分解により解かれる。
• von Neumann安定性解析および数値分散解析により、スキームが無条件安定かつ非散乱的であることが確認されている。
• 離散系は、進化作用素が行列指数近似として表現されるフーリエ空間に定式化され、高次精度および保存性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元Maxwell方程式に対して、複数の物理的保存則を保存する6次精度時間積分スキームを構築可能か？
• RQ2 このようなスキームの最適誤差評価は何か？ また、定数が時間Tとともにどのように増大するか？
• RQ3 提案スキームの数値分散関係は、標準的なFourier擬似スペクトル法と比較して、位相速度および群速度誤差の面でどのように異なるか？
• RQ4 得られる線形系は、特に大規模問題においても高い計算コストを伴わずに効率的に解けるか？
• RQ5 長時間のシミュレーションにおいても、電磁場の発散なし性質が保持されるか？ また、これにより数値的安定性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案スキームは、離散$L^2$-ノルムにおいて時間方向に6次精度、空間方向にスペクトル精度を達成し、定数が$O(T)$に比例するのみの最適誤差評価を得た。
• 数値分散解析およびエネルギー保存の検証により、スキームが無条件安定かつ非散乱的であることが確認された。
• 5つのエネルギー保存則、3つの運動量保存則、シンプレクティック性、および電場および磁場の2つの離散的発散なし制約を保存する。
• 数値分散解析により、Fourier擬似スペクトル法では高波数領域での偽の解分岐が生じるが、グリッドの異方性は方向に依存しないことが判明した。
• 高速なFFTベースのスローラーが開発され、各時間ステップにおける線形系の解法が、計算コストが$O(N_x N_y N_z /\log(N_x N_y N_z))$に比例する形で効率的に行えるようになった。
• 数値結果により理論的誤差評価が妥当であることが確認され、低次のスキームと比較して優れた長時間安定性および精度を示した。