[論文レビュー] A Novel Three-Level Time-Split MacCormack Method for Solving Two-Dimensional Viscous Coupled Burgers Equations

Eric Ngondiep|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2次元の粘性結合 Burgers 方程式を解くための、3段階の明示的時間分割 MacCormack 法を提案する。2次元問題を連続する1次元演算に分割することにより、低レイノルズ数では時間方向で2次精度、空間方向で4次収束を達成し、高レイノルズ数では時間・空間方向ともに2次収束を示す。既存のスキームと比較して、計算効率と安定性が向上していることが示された。

ABSTRACT

In this paper, we analyze the three-level explicit time-split MacCormack procedure in the numerical solutions of two-dimensional viscous coupled Burgers' equations subject to initial and boundary conditions. The differential operators split the two-dimensional problem into two pieces so that the two-step explicit MacCormack scheme can be easily applied to each subproblem. This reduces the computational cost of the algorithm. For low Reynolds numbers, the proposed method is second order accurate in time and fourth convergent in space, while it is second order convergent in both time and space for high Reynolds numbers problems. This shows the efficiency and effectiveness of the considered method compared to a large set of numerical schemes widely studied in the literature for solving the two-dimensional time dependent nonlinear coupled Burgers' equations. Numerical examples which confirm the theoretical results are presented and discussed.

研究の動機と目的

• 2次元非定常非線形結合 Burgers 方程式（粘性項を含む）をより効率的かつ安定に数値的に解くためのスキームを開発すること。
• 時間分割技術を用いて2次元問題を連続する1次元演算に分解することで、計算コストを低減すること。
• 低レイノルズ数流れでは空間精度を高める（4次精度）一方で、高レイノルズ数の場合は2次精度を維持すること。
• 特定の時間刻み制限下での、提案手法の安定性および収束性の性質を分析すること。
• 広範な数値実験と既存スキームとの比較を通じて、手法の性能を検証すること。

提案手法

• 本手法は、2次元 Burgers 方程式をx方向およびy方向に沿った2つの連続する1次元サブ問題に分解する、3段階の明示的時間分割法を採用する。
• 各サブ問題は、上流バイアスの空間差分を用いた2段階の明示的 MacCormack 予報・修正スキームで解かれる。
• 時間分割戦略により、空間方向を同時にではなく逐次的に取り扱うことで、明示スキームの安定性が向上する。
• 予報段階では前進差分、修正段階では後退差分を用いることで、不連続部における解像度が向上する。
• 特に高レイノルズ数流れにおいて重要となる安定性を確保するため、時間刻み制限が導出されている。
• 初期条件および境界条件を一貫して取り扱うために、ステaggeredグリッドを用いた実装がなされ、精度が保持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分割 MacCormack 法は、2次元の粘性結合 Burgers 方程式（低レイノルズ数）に対して、空間方向に4次精度を達成できるか？
• RQ2 高レイノルズ数問題において、提案手法の時間および空間方向の収束率はいかほどか？
• RQ3 時間分割戦略は、標準的な2次元 MacCormack スキームと比較して、安定性および計算効率にどのような影響を与えるか？
• RQ4 高レイノルズ数流れにおいて、本手法が安定となる時間刻み制限はどのようなものか？
• RQ5 高レイノルズ数領域における非常に薄い粘性層を解像する場合、本手法は精度と頑健性を維持できるか？

主な発見

• 低レイノルズ数では、時間方向で2次収束、空間方向で4次収束を達成しており、高い空間精度が確認された。
• 高レイノルズ数では、時間・空間方向ともに2次収束を示し、導出された時間刻み制限の下で安定性が維持された。
• 数値実験の結果、2次元結合 Burgers 方程式を解く際、広範な既存スキームと比較して本手法はより効率的かつ頑健であることが示された。
• 時間刻みが導出された安定性条件を超えると、特にメッシュが細かい場合に、手法は不安定になり収束しなくなる。
• 粗いグリッド領域では良好に動作するが、厳密な時間刻み制限のため、細かいグリッドの粘性層では計算コストが著しく増加する。
• 非常に薄い粘性層を有する高レイノルズ数流れに対しては、本手法は非効率であり、メッシュの細分化と小さな時間刻みが必要となる。