[論文レビュー] A Novel Unified Approach to Invariance in Control

Zoltán Horváth, Yunfei Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形連続または離散ダイナミカルシステムにおける凸集合—多面体、多面錐、楕円体、Lorenz錐—の不変性の必要十分条件を決定する統一的な枠組みを提案する。従来のリャプノフ手法の代わりにS-lemmaを活用することで、一般の二次不等式集合、非凸および非有界な集合を含む、不変性解析を拡張し、Euler離散化を用いて離散系の条件から連続系の条件を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel, unified, general approach to investigate sufficient and necessary conditions under which four types of convex sets, polyhedra, polyhedral cones, ellipsoids and Lorenz cones, are invariant sets for a linear continuous or discrete dynamical system. In proving invariance of ellipsoids and Lorenz cones for discrete systems, instead of the traditional Lyapunov method, our novel proofs are based on the S-lemma, which enables us to extend invariance conditions to any set represented by a quadratic inequality. Such sets include nonconvex and unbounded sets. Finally, according to the framework of our novel method, sufficient and necessary conditions for continuous systems are derived from the sufficient and necessary conditions for the corresponding discrete systems that are obtained by Euler methods.

研究の動機と目的

• 線形連続および離散系における4つの主要な凸集合—多面体、多面錐、楕円体、Lorenz錐—の不変性解析を統一すること。
• 従来のリャプノフ手法が楕円体やLorenz錐の不変性解析において抱える制限を克服し、S-lemmaを基盤的ツールとして導入すること。
• 任意の二次不等式で定義される集合、非凸および非有界な集合を含む、不変性条件を一般化し、応用範囲を拡大すること。
• Euler法による離散近似を通じて、連続系とその離散近似の間の不変性条件の体系的関係を確立すること。

提案手法

• 離散時間系における楕円体およびLorenz錐の不変性条件を導出するためにS-lemmaを活用し、従来のリャプノフに基づく解析に代わる。
• S-lemmaを任意の二次不等式で定義される集合に適用し、標準的な凸錐を超えた非凸および非有界な集合の不変性解析を可能にする。
• 対応する離散時間系にEuler離散化を適用することで、連続系の不変性条件を導出し、連続系と離散系のフレームワークの整合性を保証する。
• 線形力学系下でのさまざまな凸および二次集合の不変性を統一的に取り扱う一般枠組みを確立する。
• 凸解析および二次形式に依存し、線形行列不等式（LMIs）または関連制約として表現可能な代数的条件により不変性を特徴付ける。
• 多面体および多面錐に対しても同様の解析構造が適用可能であり、4つの集合タイプに対して一元的な取り扱いが可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形離散時間系が楕円体およびLorenz錐を不変集合として保持するための必要十分条件は何か？
• RQ2 S-lemmaをどのように体系的に応用することで、凸集合を超えて任意の二次不等式で定義される集合の不変性条件を一般化できるか？
• RQ3 Euler法による離散近似を得た連続系の不変性条件とその関係は何か？
• RQ4 多面体、多面錐、楕円体、Lorenz錐の不変性を線形力学系下で統一的に分析できるフレームワークを構築できるか？
• RQ5 提案手法が、二次不等式で定義される非凸または非有界な集合へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• S-lemmaを用いることで、リャプノフ関数に依存せずに、離散系における楕円体およびLorenz錐の不変性条件を導出可能である。
• 本手法は、非凸および非有界な集合を含む、任意の二次不等式で定義される集合へ一般化可能であり、不変性解析の範囲を著しく拡大する。
• 連続時間系の不変性条件は、Euler離散化により得られる離散系の対応条件から厳密に導出可能である。
• 本フレームワークは、線形力学系下で4種類の異なる凸集合—多面体、多面錐、楕円体、Lorenz錐—の不変性を統一的に取り扱う。
• 二次形式および行列不等式として表現可能な条件を用いて、不変性を体系的かつ代数的に検証する手法を提供する。
• S-lemmaは、二次集合クラスにおける不変性解析において、従来のリャプノフ手法よりもより汎用性に優れたツールであることが実証された。