[論文レビュー] A numeraire-free and original probability based framework for financial markets

Jia-An Yan|ArXiv.org|May 1, 2003

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、マーティングール・デフレーターを用いて、公平市場、スーパーヘッジ、完全市場といった主要概念を再定式化する、ノン・ノンレア（数的基準通貨に依存しない）で独自の確率論的枠組みを提案する。この枠組みでは、最小最大マーティングール・デフレーター（MMD）が双対的効用最大化問題の解に対応しており、資産建値付けとポートフォリオ最適化に一貫性があり、数的基準通貨に依存しないアプローチを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a numeraire-free and original probability based framework for financial markets. We reformulate or characterize fair markets, the optional decomposition theorem, superhedging, attainable claims and complete markets in terms of martingale deflators, present a recent result of Kramkov and Schachermayer (1999, 2001) on portfolio optimization and give a review of utility-based approach to contingent claim pricing in incomplete markets.

研究の動機と目的

• 数的基準通貨の選択に依存しない金融市場枠組みの開発。従来の数的基準通貨に基づくモデルの制限を回避することを目的とする。
• 公平市場、到達可能なクレーム、完全市場といった基本的概念を、同等の局所マルティングール・メジャーとは異なり、マーティングール・デフレーターを用いて再定式化すること。
• 元の確率測度に基づき、数的基準通貨の変更に対して不変であり、かつ一貫性のある、効用に基づくオプションクレーム価格付けのアプローチを提供すること。
• 最小最大マーティングール・デフレーターと、元の確率測度下での双対最適化問題の解との関係を確立し、価格付けにおける経済的整合性を保証すること。
• リスクフリーアセットが存在する場合、従来のアプローチに還元されることを示し、本枠組みが従来の方法を一般化することを示すこと。

提案手法

• 元の（客観的）確率測度 $P$ を用いた確率的基盤 $(\Omega, \mathcal{F}, P; (\mathcal{F}_t))$ を採用し、現実のダイナミクスをモデル化する。
• 正の半マルティングール・メジャー資産 $d$ 個から成る市場を定義し、個々の資産が正でない場合でも、$S^*_t = \left(\sum S^i_0\right)^{-1} \sum S^i_t$ を自然な数的基準通貨として用いる。
• マーティングール・デフレーター $M$ を導入し、$P$ の下で $M_t S_t$ が局所マルティングールであることを保証する。これにより、従来の同等の局所マルティングール・メジャーの代わりに用いる。
• マーティングール・デフレーターに基づくオプション分解定理を適用し、スーパーヘッジと到達可能なクレームを特徴付ける。
• プライマル（資産最大化）とデュアル（効用最大化）問題の双対性を用い、最小最大マーティングール・デフレーターをデュアル問題の解として導出する。
• ダヴィスの公式により定義されるオプションクレーム $\xi$ の公平価格が、$\mathbb{E}[\widehat{M}_T \xi]$ と一致することを示す。ここで $\widehat{M}$ は最小最大マーティングール・デフレーターである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アービタージュフリー価格付けや完全性といった金融市場の概念を、特定の数的基準通貨に依存せずに再定式化する方法は何か？
• RQ2 マーティングール・デフレーターは、不完全市場における公平市場と到達可能なクレームを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 最小最大マーティングール・デフレーターは、元の確率測度下での双対的効用最大化問題の解とどのように関係するか？
• RQ4 マーティングール・デフレーターを用いることで、数的基準通貨の変更に対して不変となる、効用に基づくオプションクレーム価格付けは可能か？
• RQ5 効用最大化枠組みにおいて、最小最大マーティングール・デフレーターが投資家の初期資産に依存しない条件は何か？

主な発見

• 最小最大マーティングール・デフレーター $\widehat{M}(y)$ が存在するための必要十分条件は、$\mathbb{E}[\widehat{M}_T X^*_T] = x$ を満たす終期資産 $X^*_T = I(y\widehat{M}_T)$ が存在することである。これは、デュアル最適化問題の解と直接的に関連している。
• プライマル問題における最適資産価格過程 $\widehat{X}_T(x)$ は、最小最大マーティングール・デフレーターの逆効用関数に対応しており、プライマルとデュアルの解の整合性を保証する。
• ダヴィスの公式により定義されるオプションクレーム $\xi$ の公平価格 $\widehat{\pi}(\xi) = \mathbb{E}[\widehat{M}_T \xi]$ は、効用に基づくアプローチと整合的であり、拡張市場においてアービタージュを誘発しない。
• 指数関数的および対数的効用関数の場合、共役関数が $\mathbb{E}[dQ/dP] = 1$ を満たす限り、最小最大マーティングール・デフレーターは初期資産に依存しない。この条件は、これらのケースで成立する。
• 本枠組みは古典的手法を一般化する。ある資産の価格が常に 1 である場合、モデルは従来の数的基準通貨に基づく設定に還元される。
• マーティングール・デフレーターの使用により、元の確率測度の下で定義されるため、市場データからのデフレーターに関する統計的推論が可能となり、実証的検証が可能になる。