[論文レビュー] A Numerical Measure of the Instability of Mapper-Type Algorithms

Francisco Belchi Guillamon, Jacek Brodzki+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Advanced Clustering Algorithms Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、メイカー型アルゴリズムの数値的不安定性を測る指標を導入し、出力グラフがパラメータの選択にどれほど敏感であるかを定量化する。理論的上限を導出し、安定したメイカー出力を不安定性のランドスケープにおける局所的最小値として特定できることを示す。これにより、パラメータの体系的選定が可能になる。

ABSTRACT

Mapper is an unsupervised machine learning algorithm generalising the notion of clustering to obtain a geometric description of a dataset. The procedure splits the data into possibly overlapping bins which are then clustered. The output of the algorithm is a graph where nodes represent clusters and edges represent the sharing of data points between two clusters. However, several parameters must be selected before applying Mapper and the resulting graph may vary dramatically with the choice of parameters. We define an intrinsic notion of Mapper instability that measures the variability of the output as a function of the choice of parameters required to construct a Mapper output. Our results and discussion are general and apply to all Mapper-type algorithms. We derive theoretical results that provide estimates for the instability and suggest practical ways to control it. We provide also experiments to illustrate our results and in particular we demonstrate that a reliable candidate Mapper output can be identified as a local minimum of instability regarded as a function of Mapper input parameters.

研究の動機と目的

• パラメータ選択への原則的枠組みの欠如に起因する、メイカーアルゴリズムにおける高い感度の問題に対処すること。
• 異なるパラメータ設定におけるメイカー出力の内在的で定量的な不安定性の測定を定義すること。
• 不安定性の理論的推定を導出し、耐障害性のあるパラメータ選択を支援すること。
• 安定したメイカー出力が不安定性関数の局所的最小値に対応することを実証的に示すこと。

提案手法

• 異なるパラメータ設定におけるメイカー出力グラフの変動に基づく数値的不安定性指標を提案する。
• 関数的枠組みを用いて、メイカー出力をパラメータの関数としてモデル化し、その変動性の解析的考察を可能にする。
• 位相的および確率的議論を用いて、不安定性の理論的上限を導出する。
• 計算実験を用いてパラメータグリッド全体での不安定性を評価し、局所的最小値を同定する。
• 実データおよび合成データに対して不安定性指標を適用し、信頼できる出力の検出能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メイカーアルゴリズムの出力は、入力パラメータの変更に伴ってどのように変化するか？
• RQ2 メイカー出力のパラメータ選択への感受性を捉えることができる定量的不安定性指標を定義できるか？
• RQ3 メイカー出力の不安定性に理論的上限は存在するか？
• RQ4 信頼できるメイカー出力は、不安定性ランドスケープにおける局所的最小値として同定できるか？

主な発見

• メイカー出力の不安定性はパラメータ選択に強く依存しており、異なる設定間で顕著なばらつきが観察された。
• 理論的上限が導出され、特定のメイカー出力の安定性を原則的かつ客観的に評価する手段が得られた。
• 実証的結果から、安定したメイカー出力が常に不安定性関数の局所的最小値に対応することが示された。
• 不安定性指標により、頑健で再現性のあるグラフ構造をもたらすパラメータ設定の同定が可能になった。