[論文レビュー] A numerical method for wave-structure interactions in the Boussinesq regime

Geoffrey Beck, David Lannes+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2023

Ocean Waves and Remote Sensing被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自由に移動する部分的に水中に沈んだ構造体と非線形分散波が結合する1次元のBoussinesq-Abbott状態における波-構造体相互作用を扱う2次精度の数値スキームを提示する。この手法は、接触点における水面高さのトレースを記述する補助常微分方程式（ODE）を含む拡張型定式化を用いることで、境界領域における透過条件と波生成の正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

The goal of this work is to study waves interacting with partially immersed objects allowed to move freely in the vertical direction, and in a regime in which the propagation of the waves is described by the one dimensional Boussinesq-Abbott system. The problem can be reduced to a transmission problem for this Boussinesq system, in which the transmission conditions between the components of the domain at the left and at the right of the object are determined through the resolution of coupled forced ODEs in time satisfied by the vertical displacement of the object and the average discharge in the portion of the fluid located under the object. We propose a new extended formulation in which these ODEs are complemented by two other forced ODEs satisfied by the trace of the surface elevation at the contact points. The interest of this new extended formulation is that the forcing terms are easy to compute numerically and that the surface elevation at the contact points is furnished for free. Based on this formulation, we propose a second order scheme that involves a generalization of the MacCormack scheme with nonlocal flux and a source term, which is coupled to a second order Heun scheme for the ODEs. In order to validate this scheme, several explicit solutions for this wave-structure interaction problem are derived and can serve as benchmark for future codes. As a byproduct, our method provides a second order scheme for the generation of waves at the entrance of the numerical domain for the Boussinesq-Abbott system.

研究の動機と目的

• 自由に移動する部分的に水中に沈んだ構造体を伴うBoussinesq-Abbott状態における波-構造体相互作用をシミュレートする堅牢な数値法の開発を目的とする。
• 外部領域におけるBoussinesq方程式と、構造体の運動およびその下流の流体流れを支配する結合ODEによって記述される透過問題を結合する課題に対処することを目的とする。
• 接触点における水面高さトレースのためのODEを導入することで、拡張型定式化を用いることで数値的精度と計算効率を向上させることを目的とする。
• 今後の数値コードの検証に用いるベンチマークとして、明示的な解析解を提供することを目的とする。
• 境界における波生成を2次精度で実現するために、境界駆動力の計算に拡張型定式化を活用し、領域入力部での2次波生成を可能にすることを目的とする。

提案手法

• Boussinesq-Abbott系の初期境界値問題として波-構造体相互作用問題を定式化し、構造体位置における非標準的透過条件を導入する。
• 構造体の垂直変位および左・右接触点における水面高さトレースのための拡張型ODE系を導入し、駆動項の数値的取り扱いを容易にする。
• 非局所フラックスおよびソース項を含む2次精度一般化MacCormackスキームを用いて、外部領域におけるBoussinesq方程式を解く。
• 構造体の運動および接触点における水面高さを記述するODEを解くために、2次精度のHeunスキームを適用する。
• 拡張型定式化を用いて、接触点における水面高さを直接計算し、反復的または陰的解法を回避する。
• 波生成および対称条件下での平衡状態への回復を含む、波生成に関する明示的解析解を導出する。

Figure 1. The floating object

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由に移動する部分的に水中に沈んだ構造体とBoussinesq-Abbott系の間の結合を、数値スキームで的確にモデル化する方法は何か？
• RQ2 接触点における水面高さトレースのための補助ODEを含めることで、波-構造体相互作用シミュレーションの安定性および精度に与える影響は何か？
• RQ3 提案手法は領域入力部で2次精度の波生成を実現できるか？また、標準的な波生成手法と比較してどのように異なるか？
• RQ4 Boussinesq状態における波-構造体相互作用問題で、ベンチマークとして用いられる明示的解析解はどのようなものがあるか？
• RQ5 対称的定式化は問題をどのように簡略化するか？また、どのような物理的状況（例：波生成、平衡状態への回復）がこの対称性のもとで効果的にモデル化可能か？

主な発見

• ODEによる水面高さトレースのための拡張型定式化により、追加の数値的解法を用いずに、これらの量を直接かつ正確に計算可能である。
• 提案された2次精度数値スキームは、空間的および時間的両面で一貫した精度を達成しており、明示的解析解との比較によって検証された。
• 波生成および平衡状態への回復に関する解析解が導出され、今後のコード検証のベンチマークケースとして有効である。
• 境界における波生成を2次精度で実現するために、所定の物体の運動から直接必要な境界駆動力を計算可能である。
• 対称的ケースでは、問題が境界条件が簡略化された半直線初期境界値問題に還元され、計算効率が向上する。
• 非線形分散波の効果および構造体の動的挙動を適切に捉えることができ、浅水域における波力発電所や海洋構造物のシミュレーションの実現可能性を示した。

Figure 2. Space discretzation