[論文レビュー] A numerical methodology for enforcing maximum principles and the non-negative constraint for transient diffusion equations

K. B. Nakshatrala, Harsha Nagarajan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、横線法（Rothe法）に基づく新しい数値的手法を提案し、非定常な異方性拡散方程式における最大原理と非負制約を強制する。時間方向にまず離散化し、各時間層で定常的な異方性拡散-減衰問題を凸二次計画法により逐次解くことで、時間ステップ制限なしに一般非構造メッシュ上でも物理的に整合性があり非負の解を保証する。標準の有限要素法とは異なり、これらの基本的な数学的性質を破る場合がない。

ABSTRACT

Transient diffusion equations arise in many branches of engineering and applied sciences (e.g., heat transfer and mass transfer), and are parabolic partial differential equations. It is well-known that, under certain assumptions on the input data, these equations satisfy important mathematical properties like maximum principles and the non-negative constraint, which have implications in mathematical modeling. However, existing numerical formulations for these types of equations do not, in general, satisfy maximum principles and the non-negative constraint. In this paper, we present a methodology for enforcing maximum principles and the non-negative constraint for transient anisotropic diffusion equation. The method of horizontal lines (also known as the Rothe method) is applied in which the time is discretized first. This results in solving steady anisotropic diffusion equation with decay equation at every discrete time level. The proposed methodology for transient anisotropic diffusion equation will satisfy maximum principles and the non-negative constraint on general computational grids, and with no additional restrictions on the time step. We illustrate the performance and accuracy of the proposed formulation using representative numerical examples. We also perform numerical convergence of the proposed methodology. For comparison, we also present the results from the standard single-field semi-discrete formulation and the results from a popular software package, which all will violate maximum principles and the non-negative constraint.

研究の動機と目的

• 非定常拡散方程式の標準的数値スキームが最大原理と非負制約を満たさないという問題に対処すること。
• 非定常な異方性拡散問題に対して物理的に整合性があり非負の解を保証する手法を開発すること。
• 非負性を保つために一般的に必要とされる時間ステップ制限を回避すること。
• 一般非構造メッシュで動作する、メッシュに依存しない堅牢な定式化を提供すること。
• 提案手法が標準的な半離散化スキームおよび商業ソフトウェアに比べ、数学的・物理的制約をいかに優れて保持するかを示すこと。

提案手法

• 時間方向にまず離散化することで、横線法（Rothe法）を適用し、放物型PDEを各時間層における定常的な異方性拡散-減衰問題の系列に変換する。
• 各時間ステップで得られる定常問題は、非負制約と最大原理を強制する凸二次計画法の定式化により解かれる。
• 空間離散化は、鋭角三角形などのメッシュ品質制約を必要としない一般非構造メッシュに適用される。
• 重み付き時間層（t_{n+γ}）での時間離散化により、補間を用いて整数時間層での解を安定かつ正確に再構築できる。
• 重み付き定式化は自己始動性に欠けるため、最初の時間ステップには後退オイラー法（γ=1）を用いる自己始動戦略が採用される。
• 離散系の右辺が非負のまま保たれることで、解における非負制約の維持に必要な条件が満たされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般非構造メッシュ上でも、非定常な異方性拡散方程式に対して非負制約と最大原理を強制できる数値スキームを開発可能か？
• RQ2 提案手法は、非負性を保つために一般的に必要とされるきびしい時間ステップ制限を排除できるか？
• RQ3 最適化に基づく本手法の性能は、標準的な単一場の半離散化スキームおよび商業ソフトウェアに比べ、物理的制約をいかに優れて保持するか？
• RQ4 鋭角三角形要素などのメッシュ品質条件を要せず、安定性と精度を維持できるか？
• RQ5 複雑な幾何形状および非一様・異方性拡散係数を有する問題にも適用可能か？

主な発見

• 提案手法は、標準の有限要素法とは異なり、一般非構造メッシュ上でも非定常な異方性拡散方程式に対して非負制約と最大原理を成功裏に強制する。
• 非負性を保つために時間ステップ制限を必要とせず、物理的制約に違反することなくより大きな時間ステップが可能となる。
• 数値例により、異方性および非一様拡散係数を有するさまざまなケースでも、本手法が精度と安定性を維持することが示された。
• 標準的な半離散化有限要素スキームおよび人気のある商業ソフトウェアパッケージとは異なり、本手法は非負制約と最大原理を破らない。
• 凸二次計画法により、右辺が負であっても離散系が適切に定義され、各時間ステップで物理的に意味のある解が保証される。
• 重み付き時間層に基づく補間スキームにより、整数時間層での解の再構築が高精度で可能であり、最初のステップに後退オイラー法を組み合わせることで自己始動性を達成する。