[論文レビュー] A numerical scheme for space-time fractional advection-dispersion equation

Shahnam Javadi, M. Jani+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、空間時間分数マクレール分散方程式を解くために、新規のスペクトルコロケーション法を提案する。この手法は、積分積み上げ法とベルンシュタイン多項式を組み合わせており、時間変数を最初に離散化し、空間的分数マクレール微分に対して積分積み上げ法を適用することで、線形代数的系に変換する。数値実験では、2次収束性を示し、高い精度と効率性を確認した。

ABSTRACT

In this paper, we develop a numerical resolution of the space-time fractional advection-dispersion equation. After time discretization, we utilize collocation technique and implement a product integration method in order to simplify the evaluation of the terms involving spatial fractional order derivatives. Then utilizing Bernstein polynomials as basis, the problem is transformed into a linear system of algebraic equations. Error analysis and order of convergence for the proposed method are also discussed. Some numerical experiments are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method and to confirm the analytic results.

研究の動機と目的

• キャプト型微分を伴う空間時間分数マクレール分散方程式を効率的に解くための数値的手法を開発すること。
• 物理的意味を持つが、依然として十分に研究が進んでいない時間と空間の両方の分数マクレールPDEの連立系を解く課題に取り組むこと。
• 積分積み上げ法とベルンシュタインコロケーションを組み合わせ、空間的分数マクレール微分の評価を簡素化すること。
• 従来の有限差分法や有限要素法と比較して、計算コストと行列サイズを低減すること。
• 厳密な誤差解析を行い、数値実験によって収束率を確認すること。

提案手法

• 時間変数の離散化を最初に行い、初期値問題をコロケーション法に適した境界値問題の系列に変換する。
• 空間的分数マクレール微分を処理するために積分積み上げ則を用い、項の明示的かつ安定的な評価を可能にする。
• 解の近似にベルンシュタイン多項式を基底関数として採用し、線形代数的方程式系を導出する。
• 等間隔のコロケーション点を用いたスペクトルコロケーション法を活用し、高次精度を確保する。
• 得られた代数的方程式系を数値的に解き、近似理論を用いて誤差境界を導出する。
• 非線形方程式系を解く必要がなくなるため、計算効率が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分積み上げ法をベルンシュタイン多項式と効果的に組み合わせることで、空間時間分数マクレール分散方程式を解くことが可能か？
• RQ2 理論的解析で予測された通り、空間方向で2次収束性が達成されるか？
• RQ3 従来の有限差分法や有限要素スキームと比較して、本手法の精度と計算コストはどのように異なるか？
• RQ4 変数となる分数マクレール指数 α, β, γ を取り入れても、安定性と収束性を維持できるか？
• RQ5 異なる分数マクレール指数およびメッシュの細分化に対して、実験的収束率はどのようになるか？

主な発見

• 空間離散化における実験的収束率は約2.0に達し、理論的予測を確認した。
• α = 0.2、β ∈ (1,2)、γ ∈ (0,1) の場合、h を 1/4 から 1/16 に細分化すると、L2誤差ノルムは 3.315×10⁻³ から 2.199×10⁻⁴ に減少し、収束率は一貫していた。
• α を変化させ、β = 1.5、γ = 0.5 とした場合、L∞誤差ノルムは 4.476×10⁻³ から 4.43×10⁻⁴ に減少し、収束率は約1.9であった。
• γ を変化させ、α = 0.5、β = 1.5 とした場合、L2誤差ノルムは γ の増加に伴い 3.927×10⁻³ から 2.899×10⁻³ に低下し、収束率は約1.9であった。
• 時間ステップ τ を 1/10 から 1/40 に小さくすると、CPU時間は 0.16 s から 6.266 s に増加したが、計算コストは管理可能であった。
• 複雑な分数マクレール指数に対しても、L2誤差はすべてのテスト設定で 5×10⁻³ 未満を維持し、高い精度を発揮した。