[論文レビュー] A Numerical Scheme for the Quantum Boltzmann Equation Efficient in the Fluid Regime

Francis Filbet, Jingwei Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、計算コストの高い量子BGKの代わりに、古典的BGK作用素で量子散乱作用素を罰則化することにより、量子ボルツマン方程式の新たな漸近的保存型数値スキームを提案する。内部エネルギーを温度として用いる古典的マクスウェル分布が、量子マクスウェル分布の最初の5つのモーメントと一致することを活用することで、粒子の活動度と温度の複雑な非線形系の解法を回避し、Knudsen数にかかわらず、運動論的および流体的領域で安定かつ効率的なシミュレーションが可能となり、一様な精度を達成する。

ABSTRACT

Numerically solving the Boltzmann kinetic equations with the small Knudsen number is challenging due to the stiff nonlinear collision term. A class of asymptotic preserving schemes was introduced in [6] to handle this kind of problems. The idea is to penalize the stiff collision term by a BGK type operator. This method, however, encounters its own difficulty when applied to the quantum Boltzmann equation. To define the quantum Maxwellian (Bose-Einstein or Fermi- Dirac distribution) at each time step and every mesh point, one has to invert a nonlinear equation that connects the macroscopic quantity fugacity with density and internal energy. Setting a good initial guess for the iterative method is troublesome in most cases because of the complexity of the quantum functions (Bose-Einstein or Fermi-Dirac function). In this paper, we propose to penalize the quantum collision term by a 'classical' BGK operator instead of the quantum one. This is based on the observation that the classical Maxwellian, with the temperature replaced by the internal energy, has the same first five moments as the quantum Maxwellian. The scheme so designed avoids the aforementioned difficulty, and one can show that the density distribution is still driven toward the quantum equilibrium. Numerical results are present to illustrate the efficiency of the new scheme in both the hydrodynamic and kinetic regimes. We also develop a spectral method for the quantum collision operator.

研究の動機と目的

• 漸近的保存型スキームにおいて、ボーズ＝アインシュタインまたはフェルミ＝ディラックの量子マクスウェル分布の非線形方程式を逆算する計算上の困難さに対処すること。
• すべてのKnudsen数領域で安定的かつ一様収束する量子ボルツマン方程式の数値スキームを開発すること。
• 量子BGK作用素を古典的BGK作用素に置き換えることで、複雑なモーメント系の繰り返し解法を回避すること。
• 平均自由行程が解像されていなくても、流体力学的極限（Euler方程式）を正しく捉えることができるかを保証すること。
• スペクトル法を量子散乱作用素に拡張し、高精度なシミュレーションを可能とすること。

提案手法

• 内部エネルギーを温度として用いる古典的マクスウェル分布 $ M_c $ を用いて、量子散乱作用素 $ Q_q $ を $ M_c - f $ で罰則化する。
• 古典的マクスウェル分布の最初の5つのモーメント（密度、運動量、エネルギー）が、量子マクスウェル分布のそれらと一致することを活用し、流体極限での一貫性を保証する。
• 半ラグランジュアンまたは有限体積スキームを用いて罰則化された方程式を離散化し、BGK項を陰解法で取り扱うことで安定性を確保する。
• 各タイムステップで非線形系を解かずに、保存則を介してBGK項を明示的に解くことで、非線形系の反復解法を回避する。
• 球面調和関数とガウス＝レジェンドル求積法を用い、$ M=4 $、$ N=32 $、$ L=8 $（ボーズ気体では $ L=6 $）として、量子散乱作用素のスペクトル法を実装する。
• Fermi-Dirac関数には数値積分、Bose-Einstein関数には級数展開を用いて、平衡分布を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形モーメント系の解法を伴わずに、流体領域において古典的BGK作用素が量子散乱作用素を効果的に近似できるか？
• RQ2 提案スキームは、Knudsen数にかかわらず、運動論的および流体的領域の両方で一様に安定的かつ高精度を維持できるか？
• RQ3 量子マクスウェル分布に必要な活動度-温度系の高価な繰り返し解法を回避できるか？
• RQ4 平均自由行程が解像されていない場合でも、スキームが流体力学的極限（Euler方程式）をどれほど正しく捉えられるか？
• RQ5 量子散乱作用素のスペクトル法の性能は、量子気体のシミュレーションにおいていかほどか？

主な発見

• 新しいスキームは、各タイムステップで活動度 $ z $ と温度 $ T $ に対する非線形系 $ \rho=\rho(z,T) $、$ e=e(z,T) $ を解く必要がなく、主要な計算ボトルネックを排除した。
• 数値結果は、流体領域（$ \varepsilon=1\times10^{-4} $）における量子Euler方程式のKFVSスキームと優れた一致を示し、漸近的保存性を確認した。
• 運動論領域（$ \varepsilon=1\times10^{-1} $ や $ 1\times10^{-2} $）では、明示的前進Eulerスキームの結果と一致し、スケールにわたる精度を検証した。
• スキームは、大きなタイムステップでも安定的かつ高精度を維持しており、Knudsen数に一様な安定性を示した。
• スペクトル法による量子散乱作用素の計算は、$ M=4 $、$ N=32 $、$ L=8 $（ボーズ気体では $ L=6 $）で高い精度を達成し、量子散乱項の正確な計算を可能にした。
• ボーズおよびフェルミ気体のシミュレーションにおいて、$ z=0.01 $ から $ z=9 $ のさまざまな活動度値で一貫した挙動を示し、スケールの多様性に耐える強靭性を確認した。