[論文レビュー] A Numerical Study of Radial Basis Function Based Methods for Options Pricing under the One Dimension Jump-diffusion Model

Ron Chan, Simon Hubbert|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 50被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、メルトンおよびコウのジャンプ・ドリフトモデルを含む1次元ジャンプ・ドリフトモデルにおけるオプションプライシングを記述する偏積分微分方程式（PIDE）を解くために、立方スプラインRBFを用いたメッシュレスな径数基底関数（RBF）法を提案する。本手法は、アメリカオプションに対して空間方向で2次精度、時間方向で1次精度を達成し、ストライク価格付近での振動を回避する。ヨーロピアンオプションに対しては、空間および時間方向で2次精度を達成する。

ABSTRACT

The aim of this chapter is to show how option prices in jump-diffusion models can be computed using meshless methods based on Radial Basis Function (RBF) interpolation. The RBF technique is demonstrated by solving the partial integro-differential equation (PIDE) in one-dimension for the American put and the European vanilla call/put options on dividend-paying stocks in the Merton and Kou jump-diffusion models. The radial basis function we select is the Cubic Spline. We also propose a simple numerical algorithm for finding a finite computational range of an improper integral term in the PIDE so that the accuracy of approximation of the integral can be improved. Moreover, the solution functions of the PIDE are approximated explicitly by RBFs which have exact forms so we can easily compute the global integral by any kind of numerical quadrature. Finally, we will not only show numerically that our scheme is second order accurate in both spatial and time variables in a European case but also second order accurate in spatial variables and first order accurate in time variables in an American case.

研究の動機と目的

• 1次元ジャンプ・ドリフトモデルにおけるPIDEを解くためのメッシュレスRBFベースの数値法の開発。
• 特に短期満期オプションにおいて顕著な数値的不安定性およびストライク価格付近での振動を是正すること。
• PIDEにおけるグローバル積分項の近似精度を向上させるため、有限な計算範囲を定義すること。
• 立方スプライン基底関数の因子分解を用いてRBF補間における悪条件化を回避すること。
• ヨーロピアンオプションに対して空間および時間方向で2次収束を示し、アメリカンオプションに対しては空間および時間方向で1次収束を示すことを実証すること。

提案手法

• 本手法は、ジャンプ・ドリフトモデルにおけるPIDEの空間離散化に立方スプライン径数基底関数を用いる。
• リプシッツ連続性およびジャンプ密度の尾部バウンドを用いて、PIDEに含まれる積分項の有限な計算範囲を導出する。これにより、切り捨て誤差が制御可能となる。
• 立方スプラインRBFに因子分解技術を適用し、補間における数値的悪条件化を回避する。
• 2次BDFに基づく時間ステッピングスキームを用いるが、アメリカンオプションに対しては時間方向で1次収束にとどまる。
• 積分項は有限範囲上で数値的に近似され、ジャンプ密度（正規分布または二重指数分布）の性質を用いて誤差バウンドが導出される。
• 本手法は、メルトンおよびコウのジャンプ・ドリフトモデルにおけるヨーロピアンおよびアメリカン・バニラ・オプションに適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RBFベースの手法は、ジャンプ・ドリフトモデル下でのヨーロピアンオプションに対して、空間方向で2次収束を達成できるか？
• RQ2 PIDEにおけるグローバル積分項を、数値的安定性を保ちつつ正確に切り捨てることは可能か？
• RQ3 2次時間ステッピングスキームを用いているにもかかわらず、立方スプライン基底関数を用いたRBF法がアメリカンオプションに対して時間方向で1次収束を示すのはなぜか？
• RQ4 本手法は、従来の有限差分法でよく見られるストライク価格付近でのデルタおよびガンマの振動を回避できるか？
• RQ5 メルトンおよびコウモデルにおけるジャンプ分布パラメータに応じて、積分項の有限計算範囲はどのように依存するか？

主な発見

• RBF法は、ジャンプ・ドリフトモデル下のヨーロピアンオプションに対して、空間方向で2次精度、時間方向で2次精度を達成する。
• アメリカンオプションに対しては、空間方向で2次精度を達成するが、時間方向では2次BDF時間ステッピングスキームを用いても1次精度にとどまる。
• 本手法で提案された積分項の有限計算範囲は、$ 2rac{ ho}{ ho} imes \text{constant} imes ho $ で抑えられる切り捨て誤差バウンドを保証する。メルトンおよびコウモデルの両方に対して明示的な式が導出された。
• 立方スプラインの因子分解を用いることで、RBF補間行列の悪条件化が効果的に回避され、数値的安定性が向上した。
• 本手法は、ストライク価格付近でのデルタおよびガンマの振動を効果的に抑制でき、従来の有限差分スキームでよく見られる問題を回避した。
• PIDEの構造が保たれるため、本手法はCGMYやバリアンス・ガンマなどの他のリーヴィー型モデルへも拡張可能である。