[論文レビュー] A Numerical Study of the Performance of a Quantum Adiabatic Evolution Algorithm for Satisfiability

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+1 more|ArXiv.org|Jul 19, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、充足可能性問題を解くための量子断熱的アルゴリズムの数値的検討を行い、EC3（NP完全）およびEC2（古典的に多項式時間で解ける）のランダムに生成されたインスタンスについて、必要な遷移時間 T が qubit 数 n の二次関数的に増加することを示している。これは、潜在的な効率性を示唆している。アルゴリズムは時間に依存するハミルトニアンの断熱的遷移を用い、系をその基底状態に保つ。T が適切にスケーリングされた場合、一意解を持つインスタンスでは高い成功確率を維持する。

ABSTRACT

Quantum computation by adiabatic evolution, as described in quant-ph/0001106, will solve satisfiability problems if the running time is long enough. In certain special cases (that are classically easy) we know that the quantum algorithm requires a running time that grows as a polynomial in the number of bits. In this paper we present numerical results on randomly generated instances of an NP-complete problem and of a problem that can be solved classically in polynomial time. We simulate a quantum computer (of up to 16 qubits) by integrating the Schrodinger equation on a conventional computer. For both problems considered, for the set of instances studied, the required running time appears to grow slowly as a function of the number of bits.

研究の動機と目的

• NP完全および古典的に容易な充足可能性問題を解くための量子断熱的アルゴリズムの性能を評価すること。
• ランダムに生成されたインスタンスについて、必要な遷移時間 T が qubit 数 n に対してどのようにスケーリングされるかを特定すること。
• 問題構造（例：一意解対複数解の割り当て）がアルゴリズムの成功確率に与える影響を調査すること。
• 数値シミュレーションに基づいて、断熱的量子計算がハードな充足可能性問題を効率的に解けるかどうかを評価すること。

提案手法

• アルゴリズムは時間に依存するハミルトニアン H(t) = (1−t/T)HB + (t/T)HP を用い、HB は既知の基底状態を持ち、HP は充足可能性インスタンスを符号化する。
• 系はシュレーディンガー方程式 i∂|ψ(t)⟩/∂t = H(t)|ψ(t)⟩ に従って進化し、HB の基底状態から出発する。
• 16 qubit まで、古典コンピュータ上で 2^n 次元のヒルベルト空間でシュレーディンガー方程式を数値的に積分する。
• 成功は、最終状態と HP の基底状態との重なり |⟨g; s=1|ψ(T)⟩| で測定される。
• EC3（3ビットの節）および EC2（2ビットの節）のインスタンスが、一意解または複数解の割り当てを持つようにランダムに生成される。
• T のスケーリングは、高確率の成功を達成するための必要な T を n の関数としてフィッティングし、問題ハミルトニアンをシャッフルすることで構造的依存性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP完全（EC3）および古典的に容易（EC2）な充足可能性インスタンスについて、必要な遷移時間 T が qubit 数 n に対してどのようにスケーリングされるか。
• RQ2 n が増加する際、ハードなインスタンスに対しても量子断熱的アルゴリズムが高い成功確率を維持するか。
• RQ3 複数の充足割り当てが存在する場合、アルゴリズムの成功確率にどのような影響を与えるか。
• RQ4 アルゴリズムが問題ハミルトニアンの下位のビット構造にどれほど依存するか。

主な発見

• 一意解を持つ EC3 インスタンスでは、n=7 から 14 のデータにフィットした結果、必要な遷移時間 T は n に対して概ね二次関数的に増加する。
• 古典的に多項式時間で解ける EC2 インスタンスに対しても、T はゆっくりと増加し、多項式スケーリングと整合的である。
• 問題ハミルトニアンをシャッフル（ビット構造を除去）すると、成功確率は n と共に指数関数的に低下し、構造が性能に不可欠であることが示唆される。
• 複数解を持つ EC3 インスタンス（6〜9個の解）では、中央値の成功確率は約 1/3 であり、一意解インスタンスで観測された約 1/8 よりも顕著に高い。
• 一意解を持つ EC3 インスタンスでは、使用された T 値において中央値の成功確率が約 1/8 に低下しており、基底状態からの遷移が一般的で問題であることが示唆される。
• データから、T が n に対してゆっくり（二次関数的に）増加するため、断熱的量子アルゴリズムが特定のハード問題を効率的に解ける可能性があると示唆される。