[論文レビュー] A numerical study of wave-function and matrix-element statistics in the Anderson model of localization

Ville Uski, B. Mehlig+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 1998

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、弱い不純度下における2次元および3次元アンドリュー・モデルにおける波動関数および行列要素の統計的性質について数値的考察を提示する。特に、アハロノフ＝ボームフラックスを介したGaussian Orthogonal Ensemble (GOE) からGaussian Unitary Ensemble (GUE) への遷移と、不純度の増加に伴うランダム行列理論（RMT）からのずれに注目する。正確な対角化と固有状態の統計的解析を用いて、波動関数の振幅分布について、半古典的および非線形スモールドモデルの予測を確認した。解析的結果と良好な一致が得られ、ポーター＝トーマス統計に対するg⁻¹補正項が、単純なスケーリング期待とは異なることを明らかにした。

ABSTRACT

We have calculated wave functions and matrix elements of the dipole operator in the two- and three-dimensional Anderson model of localization and have studied their statistical properties in the limit of weak disorder. In particular, we have considered two cases. First, we have studied the fluctuations as an external Aharonov-Bohm flux is varied. Second, we have considered the influence of incipient localization. In both cases, the statistical properties of the eigenfunctions are non-trivial, in that the joint probability distribution function of eigenvalues and eigenvectors does no longer factorize. We report on detailed comparisons with analytical results, obtained within the non-linear sigma model and/or the semiclassical approach.

研究の動機と目的

• 弱い不純度下におけるアンドリュー・モデルにおける波動関数および行列要素の統計的性質を調査すること。
• アハロノフ＝ボームフラックスによって誘発されるGOEからGUEへの統計的遷移、特に固有値と固有状態の非自明な連合統計を検討すること。
• 金属的領域における不純度の増加に伴うポーター＝トーマス統計からのずれを、RMT予測に対するg⁻¹補正に焦点を当てて分析すること。
• 数値的結果を非線形スモールドモデルおよび半古典的アプローチからの解析的予測と比較すること。

提案手法

• 27×27および13×13×13までの系に対して、修正されたランチョス法を用いた2次元および3次元アンドリュー・ハミルトニアンの数値的対角化。
• 固有状態および電気双極子演算子の行列要素の計算。波動関数振幅および準位速度の統計的解析。
• エネルギーおよびフラックスの関数として、準位速度および対角行列要素のフラクチュエーションを調べるため、滑らか化された分散Cv(ε,φ)およびCm(ε,φ)の使用。
• 非線形スモールドモデルを用いてRMTに対するg⁻¹補正を導出し、式(8)のフィッティングを通じて数値データと比較。
• 3次元系において400の不純度実現平均をとることで、波動関数振幅の分布f(t)およびポーター＝トーマスからのずれ∆f(t)を計算。
• エネルギーのδ関数的スミアリング幅ǫを用いてf(t)を定義し、GOE/GUE遷移およびg⁻¹補正の解析的表現と比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アハロノフ＝ボームフラックスによって引き起こされるGOEからGUEへの遷移過程において、波動関数振幅の統計はどのように変化するか？
• RQ2 遷移領域における行列要素および準位速度のフラクチュエーションについて、数値的結果は半古典的およびRMTの予測とどの程度一致するか？
• RQ3 3次元アンドリュー・モデルにおいて、不純度強度Wの増加に伴い、波動関数振幅のポーター＝トーマス統計からのずれはどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 非線形スモールドモデルが予測するRMTに対するg⁻¹補正項は、数値観測と一致するか？また、フィッティングパラメータa₃はWにどのように依存するか？

主な発見

• GOEからGUEへの遷移における波動関数振幅分布の数値的結果は、参考文献[10]の解析的予測と良好に一致しており、ピークの抑制と尾部の強化という特徴的挙動を再現している。
• 遷移領域では準位速度の分布がガウス分布でなくなるが、数値的精度の制限により、予測されたずれの明確な確認は難しい。
• 3次元アンドリュー・モデルにおけるポーター＝トーマス統計からのずれは、式(8)のg⁻¹補正式によって良好に記述されており、小さなおよび大きな振幅における確率の増加と、ピーク付近での確率の低下が観察される。
• 式(8)におけるフィッティングパラメータa₃/gはW²に比例するが、期待される平均自由行程のl ∼ W⁻²スケーリングとは一致しない。
• 式(8)における1次補正項の零点は、W = 1から5の全不純度強度範囲で、数値データにより良好に再現されている。
• 本研究では、非線形スモールドモデルによるg⁻¹補正の予測の有効性が確認されたが、弱い不純度領域におけるスケーリングの異常を解明するには、より高精度のデータの必要性が示された。