[論文レビュー] A O(c^k n) 5-Approximation Algorithm for Treewidth

Hans L. Bodlaender, Pål Grønås Drange+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、幅 $k$ と頂点数 $n$ に対して時間 $2^{O(k)}n$ で動作する、初めての定数倍近似アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、幅 $k$ よりも大きい treewidth を持つことを証明するか、幅が $5k+4$ 以下の木分解を構築する。これにより、$k$ に対して単一指数的で、$n$ に対して線形の依存関係を持つ 5-近似が達成される。これは、有界幅のグラフにおける動的計画法の計算における長年のボトルネックを解消する。

ABSTRACT

We give an algorithm that for an input n-vertex graph G and integer k>0, in time 2^[O(k)]n either outputs that the treewidth of G is larger than k, or gives a tree decomposition of G of width at most 5k+4. This is the first algorithm providing a constant factor approximation for treewidth which runs in time single-exponential in k and linear in n. Treewidth based computations are subroutines of numerous algorithms. Our algorithm can be used to speed up many such algorithms to work in time which is single-exponential in the treewidth and linear in the input size.

研究の動機と目的

• 幅 $k$ に対して単一指数的で、$n$ に対して線形の依存関係を持つ定数倍近似アルゴリズムを、treewidth に対して開発すること。
• 従来のアルゴリズムが時間計算量が高かったり、$n$ に対して線形依存で定数倍近似を達成できなかった長年のボトルネックを克服すること。
• 幅が小さい木分解を必要とする treewidth に基づくアルゴリズムに対して、実用的かつ理論的に効率的なサブルーチンを提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは再帰的な分離子に基づくアプローチを用い、部分グラフ内で小さな分離子を繰り返し特定することで、木分解の構築を誘導する。
• ある定数 $c$ に対して $O(c^k \log n)$ 時間でクエリをサポートする、新しいデータ構造を採用することで、木分解上の動的計画法を効率的に行えるようにする。
• 木分解のパス分解を利用し、根から葉へのパスに沿って中間テーブル $D[i_t]$ を計算することで、有効な分離とそのサイズを追跡する。
• シグニチャとインターフェースに基づく動的計画法を用いて、木分解のノード間で一貫性を保ち、分離情報の正しい伝搬を保証する。
• 左側および右側に押し出された分離を組み合わせることで、部分グラフ内で $\frac{8}{9}$-分離を検出する。この分離は、低幅の分解が存在することを検証するために用いられる。
• 再帰の基底部にダミーのテーブルを導入することで、終端制約を強制し、分離追跡の正しい初期化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間 $2^{O(k)}n$ で、treewidth の定数倍近似を計算することは可能か？
• RQ2 $k$ に対して単一指数的で、$n$ に対して線形の依存関係を持つ treewidth 近似アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 このようなアルゴリズムが、有界幅グラフにおける動的計画法の高速化にサブルーチンとして利用可能か？
• RQ4 単一指数的時間と $n$ に対して線形依存の下で達成可能な最良の近似比は何か？

主な発見

• アルゴリズムは treewidth に対して 5-近似を達成し、treewidth が $k$ 以下の場合、幅が $5k+4$ 以下の木分解を構築する。
• 実行時間は $2^{O(k)}n$ であり、これは $k$ に対して単一指数的で、$n$ に対して線形の依存関係を持つ定数倍近似を達成する最初のアルゴリズムである。
• 中間的なアルゴリズムとして、$3k+4$-近似を時間 $2^{O(k)}n\log n$ で達成するものも提示され、近似比と効率とのトレードオフを示している。
• 新しいデータ構造と木分解パス上の動的計画法を用いることで、クエリごとに $O(c^k \log n)$ 時間で効率的なクエリをサポートできる。
• 正確な treewidth の計算に代えて、効率的な近似を用いることで、有界幅グラフ上の問題に対する高速なアルゴリズムの設計が可能になる。
• 従来のアルゴリズムが時間計算量が高かったり、$n$ に対して線形依存で定数倍近似を達成できなかった長年のオープンな問題を解決する。