[論文レビュー] A one-step optimal energy decay formula for indirectly nonlinearly damped hyperbolic systems coupled by velocities

Fatiha Alabau‐Boussouira, Zhiqiang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、速度で結合された間接的非線形減衰付き超仮想的系に対して、1段階の最適エネルギー減衰式を確立し、全エネルギーが単独の減衰方程式と同一の速度で減衰することを証明している。乗数法、重み付き非線形積分不等式、および最適重み凸性法を用いて、非線形性が原点付近で任意であっても、減衰効果が速度結合を通じて減衰方程式から非減衰方程式へ完全に転送されることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we consider the energy decay of a damped hyperbolic system of wave-wave type which is coupled through the velocities. We are interested in the asymptotic properties of the solutions of this system in the case of indirect nonlinear damping, i.e. when only one equation is directly damped by a nonlinear damping. We prove that the total energy of the whole system decays as fast as the damped single equation. Moreover, we give a one-step general explicit decay formula for arbitrary nonlinearity. Our results shows that the damping properties are fully transferred from the damped equation to the undamped one by the coupling in velocities, different from the case of couplings through displacements as shown in \cite{AB01, ACK01, AB02, AL12} for the linear damping case, and in \cite{AB07} for the nonlinear damping case. The proofs of our results are based on multiplier techniques, weighted nonlinear integral inequalities and the optimal-weight convexity method of \cite{AB05, AB10}.

研究の動機と目的

• 一つの方程式のみが非線形フィードバックによって直接減衰する超仮想的系のエネルギー減衰特性を分析すること。
• 全結合系のエネルギーが、単独の減衰付き波動方程式と同一の速度で減衰するかどうかを特定すること。
• 原点付近での任意の非線形減衰増加に適応可能な一般的で明示的な1段階の減衰式を導出すること。
• 速度結合が、減衰領域の幾何的条件が存在しない場合でも、減衰特性を減衰方程式から非減衰方程式へ完全に転送可能であることを確立すること。
• 従来の線形および多項式減衰に関する結果を、間接的非線形減衰および任意のフィードバック増加にまで拡張すること。

提案手法

• 結合波動系のエネルギー推定を導出するための乗数技法の適用。
• 原点付近での任意の非線形フィードバック増加を扱うために重み付き非線形積分不等式の使用。
• 先行研究から得られた最適重み凸性法を用いて鋭い減衰推定を達成すること。
• 空間的エネルギー項を局所化および制御するために切断関数および補助楕円型問題の構築。
• エネルギー項のバインドと推定の閉じ込みのために部分積分およびコーシー・シュワルツ不等式の使用。
• 複数の乗数法の適用からの推定を統合し、1つの統一された減衰式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一つの間接的減衰方程式のみを有する超仮想的系のエネルギーが、単独の減衰付き波動方程式と同一の速度で減衰できるか。
• RQ2 原点付近での増加が任意であっても、任意の非線形減衰フィードバックに適応可能な1段階の明示的減衰式を導出可能か。
• RQ3 特に結合係数が領域の一部で消える場合でも、速度結合が減衰方程式から非減衰方程式への完全な減衰転送をどのように可能にするか。
• RQ4 減衰領域の幾何的条件が減衰速度に果たす役割は何か。また、このような仮定がなければ減衰が最適化できないか。
• RQ5 最適重み凸性法を非線形減衰を有する結合系に拡張し、鋭い明示的減衰推定を導出可能か。

主な発見

• 結合系の全エネルギーは、単独の減衰付き波動方程式のエネルギーと同一の速度で減衰することを示し、速度結合による完全な減衰転送を証明した。
• 任意の非線形性に対して、反復的または準明示的手法を要せず、一般的で明示的な1段階の減衰式が導出された。
• 対応する有限次元系において減衰速度は最適であり、半離散化されたスカラー波動方程式および板方程式に対しても検証された。
• 従来の結果とは異なり、減衰領域に幾何的条件を課さないで本手法が有効である。特に指数的減衰を保証するための仮定が不要である。
• 切断関数、補助楕円型問題、および重み付き積分不等式を用いて、空間的エネルギー項を効果的に制御する手法が成功した。
• 線形および多項式減衰に関する先行研究を、対数的および多項式対数的増加を含む任意の非線形フィードバックにまで一般化した。