[論文レビュー] A p-adic analogue of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for modular abelian varieties

Jennifer S. Balakrishnan, J. Steffen Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Q 上の高次元モジュラー代数的アーベル多様体に対して、良い通常型の場合に p-進 Birch and Swinnerton-Dyer 猜測を一般化する。p-進 L 関数を周期正規化によって構成し、その補間性質を検証することで達成される。この予想は、楕円曲線に対しては Mazur-Tate-Teitelbaum の元来の定式化に還元され、ランク 0 の場合に古典的 BSD 猜測と一致する。次元 2 のアーベル多様体に対しては、解析的ランク 4 の場合に数値的証拠が得られている。

ABSTRACT

Mazur, Tate, and Teitelbaum gave a p-adic analogue of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves. We provide a generalization of their conjecture in the good ordinary case to higher dimensional modular abelian varieties over the rationals by constructing the p-adic L-function of a modular abelian variety and showing that it satisfies the appropriate interpolation property. This relies on a careful normalization of the p-adic L-function, which we achieve by a comparison of periods. Our generalization agrees with the conjecture of Mazur, Tate, Teitelbaum in dimension 1 and the classical Birch Swinnerton-Dyer conjecture formulated by Tate in rank 0. We describe the theoretical techniques used to formulate the conjecture and give numerical evidence supporting the conjecture in the case when the modular abelian variety is of dimension 2.

研究の動機と目的

• Q 上の高次元モジュラー代数的アーベル多様体に対して、良い通常型の場合に p-進 Birch and Swinnerton-Dyer 猜測を楕円曲線から一般化すること。
• 正しい補間性質を満たすモジュラー代数的アーベル多様体の p-進 L 関数を構成すること。
• ランク 0 の場合に古典的 BSD 猜測と整合し、次元 1 の場合に元来の Mazur-Tate-Teitelbaum 猜測と整合することを保証すること。
• 具体的な計算を通じて、ランク 4 のねじれを持つモジュラー代数的表面の一般化された予想に対する理論的および数値的証拠を提供すること。
• 高次元における p-進レギュレーターと p-進 L 関数の特別値を計算するための枠組みを確立すること。

提案手法

• モジュラー記号と実周期および p-進周期の比較による周期正規化を用いて、モジュラー代数的アーベル多様体の p-進 L 関数を構成する。
• p-進レギュレーターを、巡回的特徴の対数とガロア群の位相的生成元を用いて実レギュレーターを正規化することで定義する。
• マイナスモジュラー記号写像とその正規化係数 δ⁻ を用い、p-進 L 関数の特別値と算術的不変量との関係を確立する。
• 2-降下法を適用し、Qp-有理的標高を持つ除数によって生成される有限指数部分群を用いて、p-進レギュレーターを計算する。
• Magma を用いて有理点を計算し、ねじれたアーベル多様体のランクの上限を検証する。
• p-進 L 値、p-進レギュレーター、p-進乗数 εp を予測される算術的不変量と比較することで、予想を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー代数的アーベル多様体に対する p-進 BSD 猜測は、ランク 0 の場合に古典的 BSD 猜測を一般化し、次元 1 の場合に Mazur-Tate-Teitelbaum 猜測を一般化するか？
• RQ2 高次元モジュラー代数的アーベル多様体の p-進 L 関数は、どのように構成され、正しい補間性質を満たすように正規化されるか？
• RQ3 次元 >1 のアーベル多様体に対する一般化された予想において、p-進レギュレーターと p-進乗数 εp の役割は何か？
• RQ4 解析的ランクが高次元の場合、たとえばランク 4 の場合に、一般化された予想に対する数値的証拠を得ることは可能か？
• RQ5 高次元モジュラー代数的アーベル多様体の p-進設定において、タマガワ数、ねじれ部分群、およびシャファレヴィチ＝タイト群の位数はどのように振る舞うか？

主な発見

• ランク 0 の場合に、一般化された p-進 BSD 猜測は古典的 BSD 猜測と整合することが、J0(31) のねじれで、シャファレヴィチ＝タイト群とねじれ部分群が自明な場合に数値的に確認された。この場合、シャファレヴィチ＝タイト群の位数が 1 であると予測された。
• 導手 D = -47 の Q 上の J0(31) のランク 4 ねじれに対して、2-降下法によりモーデル＝ヴェイユランクが正確に 4 であることが確認され、p-進精度の高い p-進レギュレーターが計算された。
• p ∈ {29, 61, 79} に対する p-進 L 値は、それぞれ 202402009906 + O(29⁸)、4326648666405 + O(61⁸)、1513185184992411 + O(79⁸) に計算され、予測された算術的不変量と一致した。
• p-進レギュレーター値は、351486231941615978 + O(29¹²)、1650697608489237057465 + O(61¹²)、8155329946924028539010 + O(79¹²) に計算され、予想と整合することが確認された。
• L 値と周期の比較により、ランク 0 ねじれで δ⁻ = -1/4 が決定され、一貫性のある p-進 L 関数の構成が可能になった。
• 数値的証拠は、提示された p-進精度まで予想を支持しており、p-進レギュレーターと L 値の積は、|Sh|、タマガワ数、ねじれ部分群を含む予測された算術的因子と一致した（|Sh| = 1 を仮定）。