[論文レビュー] A p-adic monodromy theorem for de Rham local systems

Koji Shimizu|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p進体上の滑らかなrigid analytic多様体上のde Rham局所系に対してp進モノドロミー定理を確立し、各古典的点の近傍で有限被覆の下ですべてのde Rham局所系が半安定（潜在的にクリスタリンであればクリスタリン）に成ることを証明する。この結果は、家族における半安定還元のホッジ理論的基盤を提供し、このような系における潜在的にクリスタリンな部分集合の概念を導入する。

ABSTRACT

We study horizontal semistable and horizontal de Rham representations of the absolute Galois group of a certain smooth affinoid over a p-adic field. In particular, we prove that a horizontal de Rham representation becomes horizontal semistable after a finite extension of the base field. As an application, we show that every de Rham local system on a smooth rigid analytic variety becomes horizontal semistable etale locally around every classical point. We also discuss potentially crystalline loci of de Rham local systems and cohomologically potentially good reduction loci of smooth proper morphisms.

研究の動機と目的

• p進体上の家族におけるde Rham局所系に対するp進モノドロミー定理を確立すること。
• de Rham局所系が、各古典的点の近傍で有限被覆の下で半安定に成ることを示すこと。
• 滑らかなrigid analytic多様体上のde Rham局所系の潜在的にクリスタリンな部分集合を定義し、その性質を調べること。
• 滑らかでコンパクトな準同型の家族における、コホモロジカルに潜在的に良い還元部分集合を調査すること。
• 混合特徴類を持つ体上の家族における半安定還元予想に裏付けを提供すること。

提案手法

• p進体の絶対ガロア群の水平de Rhamおよび半安定表現の理論を用いる。
• 特にベルジャーのp進モノドロミー定理を家族のガロア表現に応用し、p進ホッジ理論の結果を適用する。
• rigid analytic多様体上の解析的幾何とアディック空間の概念を用いて、古典的点の近傍での局所的性質を研究する。
• 各古典的点で局所系が潜在的にクリスタリンであるような、潜在的にクリスタリンな部分集合としての概念を導入する。
• リウとチュウによる、古典的点における局所的de Rham条件によるde Rham局所系の特徴付けに依拠する。
• ℓ-adicモノドロミー・ウェイト予想と、異なる素数間でのウェイリ-デリーニュ表現の整合性を用いて、ℓ-adicおよびp進コホモロジーを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進体上の滑らかなrigid analytic多様体上のde Rham局所系は、有限被覆の下で、各古典的点の近傍で半安定にできるか？
• RQ2 de Rham局所系が潜在的にクリスタリンである点の集合は、解析的開集合か？
• RQ3 滑らかでコンパクトな準同型のコホモロジーは、古典的点の近傍で有限被覆の下で、潜在的に非分岐（ℓ≠p）かつ潜在的にクリスタリン（p進）に成るか？
• RQ4 このような準同型の家族に対して、自然な潜在的に良い還元部分集合を定義できるか？
• RQ5 潜在的にクリスタリンな部分集合と潜在的に良い還元部分集合は、グローバルな幾何的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• p進体上の滑らかなrigid analytic多様体上の任意のde Rham Z_p-局所系は、各K-有理点（したがって古典的点）の近傍で有限被覆の下で半安定に成る。
• de Rham局所系が古典的点で潜在的にクリスタリンであれば、その近傍でも潜在的にクリスタリンであり、潜在的にクリスタリンな部分集合が定義される。
• 潜在的にクリスタリンな部分集合は解析的開集合であり、このような部分集合の合併もまた潜在的にクリスタリンな部分集合である。
• 相対次元≤2の滑らかでコンパクトな準同型に対しては、任意の次数のコホモロジカルに潜在的に良い還元部分集合が存在し、その上でコホモロジーは潜在的に非分岐（ℓ≠p）かつ潜在的にクリスタリン（p進）に成る。
• ℓ-adicおよびp進コホモロジー表現は、与えられた条件下で同時に潜在的に非分岐かつ潜在的にクリスタリンであることが、ℓ-独立性およびウェイリ-デリーニュ表現の整合性により示された。