[論文レビュー] A p-adic regulator map and finiteness results for arithmetic schemes

Shuji Saito, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 60被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、p-進レギュレータ写像のBloch-Kato予想と、算術的スキームにおける算術的不変量の有限性の間の関係を確立する。2次コホモロジーにおいてp-進レギュレータ写像の像が、チャウ群および未分岐コホモロジーにおけるp-主 torsion の有限性を示し、新しいp-進コホモロジー理論へのサイクル類写像の単射性を確立することで、Beilinson-Lichtenbaum予想を支持する。

ABSTRACT

A main theme of the paper is a conjecture of Bloch-Kato on the image of $p$-adic regulator maps for a proper smooth variety $X$ over an algebraic number field $k$. The conjecture for a regulator map of particular degree and weight is related to finiteness of two arithmetic objects: One is the $p$-primary torsion part of the Chow group in codimension 2 of $X$. Another is an unramified cohomology group of $X$. As an application, for a regular model ${\mathscr X}$ of $X$ over the integer ring of $k$, we show an injectivity result on torsion of a cycle class map from the Chow group in codimension 2 of ${\mathscr X}$ to a new $p$-adic cohomology of ${\mathscr X}$ introduced by the second author, which is a candidate of the conjectural étale motivic cohomology with finite coefficients of Beilinson-Lichtenbaum.

研究の動機と目的

• 数体上の算術的スキームにおける2次コホモロジーにおけるp-進レギュレータ写像の像に関するBloch-Kato予想を調査すること。
• この予想を、チャウ群におけるp-主 torsion および未分岐コホモロジーという2つの算術的不変量の有限性と関連づけること。
• 新しいp-進コホモロジー理論への2次チャウ群からのサイクル類写像の単射性を確立すること。これは、有限係数をもつエタールモチーフコホモロジーの候補である。
• BeilinsonとLichtenbaumの予想する有限係数をもつエタールモチーフコホモロジーの候補として、新しいp-進コホモロジー構成を用いて、Beilinson-Lichtenbaum予想に裏付けを与えること。

提案手法

• 数体上の多様体の正則モデルに対して、Z/p^rZ係数のエタール層の極限として構成される新しいp-進コホモロジー理論を導入する。
• 高次チャウ群から連続ガロアコホモロジーへのp-進レギュレータ写像を用い、特に(r,m) = (2,1)のケースに注目する。
• Q_p/Z_p係数の未分岐コホモロジーの理論を適用し、これはエタールコホモロジーが1次コホモロジー点で未分岐であることで定義される。
• サイクル類写像、ポントリャーギン双対性、およびレギュレータ写像の双対を含む可換図式を構築し、torsion およびcokernel の有限性を分析する。
• Milneの双対定理およびエタールコホモロジーにおけるPoincaré双対性を用い、ブラウアー群とコホモロジー群を関連付ける。
• ブラウアー群および未分岐コホモロジーの有限性仮定を用いて、サイクル類写像の核およびcokernel の有限性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bloch-Kato予想（p-進レギュレータ写像の像に関するもの）は、数体上の正則かつ滑らかな多様体の2次サイクルのチャウ群におけるp-主 torsion の有限性を示すか？
• RQ2 適切な条件下で、Q_p/Z_p係数をもつp-進レギュレータ写像の像は、H^1_g(k, H^2_et(X̄, Q_p/Z_p(2))) に等しいか？
• RQ3 整数環の整数環上での多様体の正則モデルに対して、CH^2(X) から新たに導入されたp-進コホモロジー理論へのサイクル類写像の単射性は成立するか？
• RQ4 未分岐コホモロジー H^3_ur(K, Q_p/Z_p(2)) の有限性は、2次サイクルのチャウ群の torsion の有限性と関連づけられるか？
• RQ5 新しいp-進コホモロジー理論は、BeilinsonおよびLichtenbaumが予想する有限係数をもつエタールモチーフコホモロジーの候補として、どの程度有効であるか？

主な発見

• 条件H1（2次コホモロジーにおけるp-進レギュレータ写像のBloch-Kato予想）は、H1*（Q_p/Z_p係数における類似の主張）を含意するが、その含意は非自明である。
• Bloch-Kato予想H1は、CH^2(X) のp-主 torsion 部分群の有限性を含意する。
• Bloch-Kato予想H1は、未分岐コホモロジー群 H^3_ur(K, Q_p/Z_p(2)) の有限性を含意する。
• 第二著者が導入した新しいp-進コホモロジー理論へのCH^2(X) からのサイクル類写像の単射性が確立された。これは、有限係数をもつエタールモチーフコホモロジーの候補である。
• 有限性仮定の下で、サイクル類写像の核はCH^2(X) の torsion 部分群と同型であることが示された。
• Q_p/Z_p係数をもつサイクル類写像のポントリャーギン双対は、Br(X) が有限であるという仮定の下で、核がXのブラウアー群と同型であることが示された。