[論文レビュー] A $(p,ν)$-extension of the Appell function $F_1(\cdot)$ and its properties

Showkat Ahmad Dar, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、拡張されたベータ関数 $B_{p,\nu}(x,y)$ を用いて、Appell関数 $F_1(\cdot)$ の $(p,\nu)$-拡張を導入し、その積分表現、メリン変換、微分公式、再帰関係、有界不等式を確立する。主な貢献は、特殊関数および数理物理学における応用を有する、新しい種類の拡張された超幾何関数の導入であり、Meijerの $G$-関数を含む新しい積分表現を含む。

ABSTRACT

In this paper, we obtain a $(p,v)$-extension of the Appell hypergeometric function $ F_{1}(\cdot)$, together with its integral representation, by using the extended Beta function $B_{p,v}(x,y)$ introduced in arXiv:1502.06200. Also, we give some of its main properties, namely the Mellin transform, a differential formula, recursion formulas and a bounded inequality. In addition, some new integral representations of the extended Appell function$ F_{1,p,v}(\cdot)$ involving Meijer's $G$-function are obtained.

研究の動機と目的

• 古典的Appell超幾何関数 $F_1(\cdot)$ を、拡張されたベータ関数 $B_{p,\nu}(x,y)$ に基づく $(p,\nu)$-パrameter化された拡張を組み込むことで拡張すること。
• 新しい拡張関数 $F_{1,p,\nu}(\cdot)$ の積分表現、メリン変換、微分公式を導出すること。
• 分子パラメータ $b_2$ および $b_3$ に関する再帰公式を確立し、拡張関数の有界不等式を証明すること。
• Meijerの $G$-関数および変則超幾何関数を用いた、$F_{1,p,\nu}(\cdot)$ の新しい積分表現を導出すること。

提案手法

• 拡張されたAppell関数 $F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y)$ は、標準的な $F_1$ 級数における古典的ベータ関数の代わりに、拡張されたベータ関数 $B_{p,\nu}(x,y)$ を含む級数によって定義される。
• 拡張されたベータ関数の積分形と修正ベッセル関数 $K_{\nu}(z)$ を用いて、$F_{1,p,\nu}(\cdot)$ の積分表現が導出される。
• メリン＝バーンズ積分表現および $G$-関数の性質を適用することで、$F_{1,p,\nu}(\cdot)$ のメリン変換が得られる。
• Pochhammer記号および拡張されたベータ関数の性質を用いて、$x$ および $y$ についての級数表現を微分することで、微分公式が導出される。
• Pochhammer記号の操作と拡張されたベータ関数の再帰恒等式を適用することで、再帰公式が確立される。
• 修正ベッセル関数 $K_{\nu+1/2}(z)$ の漸近的挙動と積分推定技術を用いて、有界不等式が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベータ関数の2パラメータ拡張を用いて、Appell関数 $F_1(\cdot)$ をどのように一般化できるか？
• RQ2 新しい $(p,\nu)$-拡張Appell関数の積分表現およびメリン変換表現は何か？
• RQ3 拡張関数の分子パラメータ $b_2$ および $b_3$ に関して成り立つ再帰関係は何か？
• RQ4 拡張Appell関数はどのようにMeijerの $G$-関数を用いて表現できるか？
• RQ5 拡張Appell関数の絶対値の鋭い上界は何か？

主な発見

• $(p,\nu)$-拡張は、$F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y) = \sum_{m,n=0}^{\infty} \frac{(b_2)_m(b_3)_n B_{p,\nu}(b_1+m+n, c_1-b_1)}{B(b_1, c_1-b_1)} \frac{x^m}{m!} \frac{y^n}{n!}$ として定義され、$\Re(p) > 0$ および $\Re(c_1) > \Re(b_1) > 0$ を満たす。
• 積分表現が確立された：$F_{1,p,\nu}(\cdot) = \frac{\Gamma(c_1)}{\Gamma(b_1)\Gamma(c_1-b_1)} \int_0^1 t^{b_1-1}(1-t)^{c_1-b_1-1}(1-xt)^{-b_2}(1-yt)^{-b_3} \times \left[ \int_0^1 u^{b_1+m+n-1}(1-u)^{c_1-b_1-1} e^{-p/(u(1-u))} \right] dt$ であり、拡張されたベータ関数を含む。
• 拡張されたメリン変換は、Meijer $G$-関数を用いて表現され、拡張された超幾何関数と特殊関数の間の新しい関係を提供する。
• 微分公式が導出された：$\frac{\partial}{\partial x} F_{1,p,\nu}(\cdot) = \frac{b_2}{c_1} F_{1,p,\nu}(b_1+1, b_2+1, b_3; c_1+1; x, y)$ であり、古典的 $F_1$ と類似した導関数関係を示す。
• 再帰公式が証明された：$F_{1,p,\nu}(b_1,b_2+n,b_3;c_1;x,y) = F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y) + \frac{b_1 x}{c_1} \sum_{\ell=1}^n F_{1,p,\nu}(b_1+1,b_2+\ell,b_3;c_1+1;x,y)$ であり、正の整数 $n$ に対して有効である。
• 鋭い上界が確立された：$|F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y)| < \frac{2^{\nu}|p|^{\nu+1}\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}(\Re(p))^{2\nu+1}} \cdot \frac{B(b_1+\nu, c_1-b_1+\nu)}{B(b_1, c_1-b_1)} \cdot F_1(b_1+\nu, b_2, b_3; c_1+2\nu; x, y)$ であり、$x,y$ およびパラメータに関する条件下で成り立つ。