[論文レビュー] A $p$-Laplacian Neumann problem with a possibly supercritical nonlinearity

Francesca Colasuonno|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可能である超臨界非線形項 $f(u)$ を有する $p$-ラプラシアンノイマン問題に対して、切断法とマウンテンパス型の議論を用いて、非定数で正で、径数的に非減少な解の存在を確立する。主な結果として、$f(u) = u^{q-1}$ で $q > p$ の場合、解は $q \to \infty$ のとき、極限ディリクレ問題の唯一の解 $G$ に、$W^{1,p}(B)$ および任意の $\mu \in (0,1)$ に対して $C^{0,\mu}(\overline{B})$ で収束する。超臨界成長の挑戦を克服するため、一様な $L^\infty$ 界が得られる有界な径対称関数の錐上で議論している。

ABSTRACT

We look for nonconstant, positive, radially nondecreasing solutions of the quasilinear equation $-Δ_p u+u^{p-1}=f(u)$ with $p>2$, in the unit ball $B$ of $\mathbb R^N$, subject to homogeneous Neumann boundary conditions. The assumptions on the nonlinearity $f$ are very mild and allow it to be possibly supercritical in the sense of Sobolev embeddings. The main tools used are the truncation method and a mountain pass-type argument. In the pure power case, i.e., $f(u)=u^{q-1}$, we detect the limit profile of the solutions of the problems as $q o\infty$.

研究の動機と目的

• 可能である超臨界非線形項を有する $p$-ラプラシアンノイマン問題に対して、非定数で正で、径数的に非減少な解の存在を確立すること。
• 標準的な変分法が、エネルギー汎関数が $W^{1,p}(B)$ 上で定義されないため、非線形項が超臨界である場合に失敗することの挑戦に対処すること。
• 純粋なべき乗非線形項 $f(u) = u^{q-1}$ の場合に、解の漸近的挙動を分析すること。
• 解の極限プロファイルが、$p$-ラプラシアンとゼロの右辺を有する極限ディリクレ問題の唯一の解 $G$ であることを示すこと。
• $W^{1,p}(B)$ および任意の $\mu \in (0,1)$ に対して $C^{0,\mu}(\overline{B})$ で、解 $u_q$ が $G$ に収束することを示すこと。

提案手法

• 元の超臨界非線形項 $f$ を、有界集合上で $f$ と一致する亜臨界非線形項 $\tilde{f}$ に置き換えるための切断法の使用により、エネルギー汎関数が適切な関数空間上で定義可能であることを保証すること。
• 非負で径数的に非減少な関数の閉凸錐 $\mathcal{C} \subset W^{1,p}_{\mathrm{rad}}(B)$ に問題を制限し、埋め込み推移により一様な $L^\infty$ 界が得られることを活用すること。
• エネルギー汎関数 $\tilde{I}$ の臨界点を、錐 $\mathcal{C}$ 内で見つけるために、切断された設定でマウンテンパス型の議論を適用すること。ただし、$W^{1,p}$-位相において錐 $\mathcal{C}$ は空内部を持つ。
• 臨界点を特定し、定数解 $u_0$ が局所的最小解でないことを証明するためのネハリ型集合 $\mathcal{N}_*$ の使用により、マウンテンパス幾何の成立を保証すること。
• 2階テイラー展開と陰関数定理を用いて、定数解の近傍でのマウンテンパス幾何を検証し、条件 (f₃) を用いて非退化性を保証すること。
• 解 $u_q$ に対して $q \to \infty$ のときの一様な事前界を確立し、これにより $W^{1,p}(B)$ での弱収束および $C^{0,\mu}(\overline{B})$ での強収束により、極限プロファイル $u_\infty$ の抽出が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可能である超臨界非線形項を有する $p$-ラプラシアンノイマン問題は、$f$ に対して弱い仮定のもとで、非定数で正で径数的に非減少な解を有するか？
• RQ2 標準的ソボレフ埋め込みが失敗する状況において、超臨界非線形項が存在する場合に、エネルギー汎関数が意味的に定義可能で、最小化可能か？
• RQ3 非線形項が純粋なべき乗 $f(u) = u^{q-1}$ である $p$-ラプラシアンノイマン問題の解の、$q \to \infty$ のときの漸近的挙動は何か？
• RQ4 このような解の極限プロファイルは、$-\Delta_p G + G^{p-1} = 0$ を $B$ で満たし、$\partial B$ で $G = 1$ を満たす極限ディリクレ問題の唯一の解 $G$ か？
• RQ5 解 $u_q$ が $G$ に収束する際、$W^{1,p}(B)$ および任意の $\mu \in (0,1)$ に対して $C^{0,\mu}(\overline{B})$ で収束が成立するか？

主な発見

• 非線形項 $f$ が (f₁)–(f₃) を満たす限り、単位球 $B \subset \mathbb{R}^N$、$p > 2$ において、非定数で正で径数的に非減少な $p$-ラプラシアンノイマン問題の解が少なくとも1つ存在する。$f$ が超臨界であっても成立する。
• 非線形項 $f$ に対して $n$ 個の異なる点 $u_0^{(i)}$ が横断的条件 (f₃) を満たすならば、少なくとも $n$ 個の異なる非定数解が存在する。
• 純粋なべき乗非線形項 $f(u) = u^{q-1}$（$q > p$）に対して、解 $u_q$ は $q \to \infty$ のとき、$G$ に $W^{1,p}(B) \cap C^{0,\mu}(\overline{B})$ で収束する。ここで $G$ は $-\Delta_p G + G^{p-1} = 0$ を $B$ で満たし、$\partial B$ で $G = 1$ を満たす。
• $\|u_q\|_{W^{1,p}(B)} \to \|G\|_{W^{1,p}(B)}$ のノルム収束と、空間の厳密な強凸性により、$W^{1,p}(B)$ での収束は強いものである。
• 極限プロファイル $G$ は、$W^{1,p}(B)$ 内で $u|_{\partial B} = 1$ を満たす関数のうち、ディリクレエネルギー $\frac{1}{p}\|u\|_{W^{1,p}(B)}^p$ の最小化子として一意に達成され、この下界は $G$ のみで達成される。
• $\|u_q\|_{C^{1}(\overline{B})} \leq C$ という $q$ に依存しない一様な事前界により、極限プロファイル $u_\infty = G$ の存在が保証され、漸近的解析の正当性が裏付けられる。